Женя решил вести активный образ жизни и бегать на стадионе. Перед пробежкой он берет с собой флажки, которые расставляет во время пробежки вдоль беговой дорожки. Первый флажок соответствует началу дорожки, этот флажок Вася устанавливает всегда устанавливает на старте. Длина одного круга стадиона 462 метров. Вася сначала расставил 26 флажка на расстоянии 35 метра друг от друга, затем развернулся, побежал в обратном направлении, расставил еще 43 флажок через каждый 14 метр. Сколько получится точек вдоль беговой дорожки, в которых установлено больше одного флажка?

Чтобы решить эту задачу, давайте шаг за шагом проанализируем расстановку флажков.

1. Первый этап: Женя расставляет 26 флажков на расстоянии 35 метров друг от друга.

   • Начинаем с точки 0 (старта).
   • Первый флажок в точке 0, второй в точке 35, третий в точке 70 и так далее.
   • Последний, 26-й флажок будет в точке: \[ 0 + 35 \times (26 - 1) = 0 + 35 \times 25 = 875 \text{ метров} \]
   • Поскольку длина круга стадиона 462 метра, мы должны воспользоваться модулем длины круга: \[ 875 \mod 462 = 413 \text{ метров} \]
   • Таким образом, флажки первого этапа будут установлены на следующих позициях: \[ 0, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455, 490 \mod 462 = 28, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455, 0, 28 \]

   Позиций флажков: \[ \{0, 28, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455\} \]

   • В итоге у нас 15 уникальных позиций.

2. Второй этап: Женя разворачивается и расставляет 43 флажка через каждые 14 метров.

   • Начинаем с точки 462 (замкнутая обратная пробежка) и продолжаем:

   • Первый флажок будет в точке 462, второй в точке 476, третий в точке 490 ( причём 490 модулю 462 будет 28), и так далее.

   • Последний (43-й) флажок на расстоянии: \[ 462 + 14 \times (43 - 1) = 462 + 14 \times 42 = 462 + 588 = 1050 \]

   • Теперь рассматриваем 1050 по модулю кривой стадиона: \[ 1050 \mod 462 = 126 \]

   • Отметим позиции: \[ 462 \mod 462 = 0, 476 \mod 462 = 14, 490 \mod 462 = 28, \ldots, 1050 \mod 462 = 126 \]

   • В итоге узнали, что флажки будут установлены и на таких позициях: \[ \{0, 14, 28, 42, 56, ..., 126\} \]

Теперь давайте объединим все позиции:

• Из первого этапа: {0, 28, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455}

• Из второго этапа: {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, ...}

Сравнив их, можно выяснить, что одновременно флажки стоят на следующих позициях: 0, 28, 70, 140.

Теперь мы можем подсчитать количества точек, где установлено больше одного флажка, что выходит:

• 0 метра
• 28 метров
• 70 метров
• 140 метров

В итоге, у нас имеется 4 точки, где установлено больше одного флажка.

Таким образом, итоговый ответ: Количество точек вдоль беговой дорожки, в которых установлено больше одного флажка: 4.