В сосуде был сироп. Часть его отлили и долили столько же воды. затем перемешав отлили такую же часть и сосуд долили водой. В сосуде отношения сиропа и воды оказалось 16:9 . какую часть отливали

Для решения задачи давайте обозначим начальный объём сиропа в сосуде как \( V_s \) и объём воды, который добавляется как \( V_w \). Мы хотим узнать, какую часть сиропа отлили, обозначим её как \( x \) (в виде доли от общего объема, то есть \( x \cdot V_s \)).

1. Первый этап: Мы отливаем часть сиропа, равную \( x \cdot V_s \). После этого в сосуде остаётся \( V_s - x \cdot V_s = (1 - x) V_s \) сиропа.

2. Добавление воды: Мы добавляем равный объём воды, то есть \( x \cdot V_s \). Теперь общий объём в сосуде становится \( (1 - x)V_s + xV_s = V_s \) и объём воды составляет \( x \cdot V_s \) (всё, что мы добавили) + 0 (в начале в сосуде только сироп).

3. Второй этап: Затем мы снова отливаем ту же часть \( x \cdot V_s \). Теперь важно учесть, что мы отливаем часть, содержащую как сироп, так и воду. Объём смеси теперь \( V_s \) (сироп плюс вода). Мы можем найти долю сиропа и воды в отлитом объёме.

   • Объём сиропа в отлитом \( xV_s \) будет равен: \[ \frac{(1-x)V_s}{V_s} \cdot xV_s = (1-x)xV_s. \]
   • Объём воды в отлитом \( xV_s \): \[ \frac{xV_s}{V_s} \cdot xV_s = x^2V_s. \]

4. В сосуде остаётся:

   • Сиропа: \[ (1 - x)V_s - (1-x)xV_s = (1 - x)(1 - x)V_s. \]
   • Воды: \[ xV_s - x^2V_s = x(1 - x)V_s. \]

Таким образом, соотношение сиропа к воде теперь составляет: \[ \frac{(1-x)^2 V_s}{x(1-x)V_s} = \frac{(1-x)}{x}. \]

Согласно условию, это соотношение равно \( \frac{16}{9} \): \[ \frac{(1-x)}{x} = \frac{16}{9}. \]

Решим это уравнение:

1. Умножим обе стороны на \( 9x \): \[ 9(1-x) = 16x. \]
2. Раскроем скобки: \[ 9 - 9x = 16x. \]
3. Переносим все \( x \) на одну сторону: \[ 9 = 25x. \]
4. Разделим обе стороны на 25: \[ x = \frac{9}{25}. \]

Таким образом, мы отлили \( \frac{9}{25} \) от общего объема сиропа.