Задача 4. (8 баллов) В школе Дурмстранг ученики 2 класса выбирали новые предметы на учебный год. Всего было три новых предмета: зельеварение, проклятия и катание на лыжах. 8…
Задача 4. (8 баллов) В школе Дурмстранг ученики 2 класса выбирали новые предметы на учебный год. Всего было три новых предмета: зельеварение, проклятия и катание на лыжах. 8 человек записались на зельеварение, 10 на проклятия и 7 на лыжи, при этом каждый выбрал по два предмета, а Виктор записался на все. Сколько учеников в классе?
Для того чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество учеников в классе как \( N \).
Имеем следующие данные:
- 8 человек записались на зельеварение (З).
- 10 человек записались на проклятия (П).
- 7 человек записались на лыжи (Л).
Каждый ученик выбрал по два предмета, а Виктор записался на все три предмета.
Пусть:
- \( x \) – количество учеников, которые выбрали зельеварение и проклятия.
- \( y \) – количество учеников, которые выбрали зельеварение и лыжи.
- \( z \) – количество учеников, которые выбрали проклятия и лыжи.
Так как Виктор выбрал все три предмета, то он входит в каждую из групп \( x \), \( y \) и \( z \). Эта запись подразумевает, что Виктор считается одним из тех, кто выбрал два предмета, и мы должны учитывать это в нашем подсчете.
Теперь составим уравнения. Каждый предмет распределен между учениками, которые выбрали его:
Для зельеварения: \[ x + y + 1 = 8 \]
Для проклятий: \[ x + z + 1 = 10 \]
Для лыж: \[ y + z + 1 = 7 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( x + y = 7 \)
- \( x + z = 9 \)
- \( y + z = 6 \)
Теперь решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = 7 - x \]
Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ x + z = 9 \Rightarrow z = 9 - x \]
Теперь подставим выражение для \( y \) и \( z \) в третье уравнение: \[ (7 - x) + (9 - x) = 6 \] \[ 16 - 2x = 6 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5 \]
Теперь подставим \( x \) обратно, чтобы найти \( y \) и \( z \): \[ y = 7 - 5 = 2 \] \[ z = 9 - 5 = 4 \]
Теперь у нас есть:
- \( x = 5 \) (ученики, выбравшие зельеварение и проклятия),
- \( y = 2 \) (ученики, выбравшие зельеварение и лыжи),
- \( z = 4 \) (ученики, выбравшие проклятия и лыжи).
Теперь посчитаем общее количество уникальных учеников \( N \):
- У нас есть 5 учеников, выбравших зельеварение и проклятия,
- 2 ученика, выбравшие зельеварение и лыжи,
- 4 ученика, выбравшие проклятия и лыжи,
- 1 уникальный ученик (Виктор), который записался на все три предмета.
Складываем всех, но учтем, что Виктор учтен в каждый раз: \[ N = x + y + z + 1 = 5 + 2 + 4 + 1 = 12 \]
Таким образом, общее количество учеников в классе равно 12.
Ответ: 12 учеников.
