Сколько целых значений к при которых прямая у = ух не пересекает параболы у = х^2-20х + 123 у= х^2+30х+300

Question 1

Задача Задача №2377112

А

Аноним

30 ноября 2024 06:48 · публичный вопрос

А

Аноним 30 ноября 2024 06:48

Сколько целых значений к при которых прямая у = ух не пересекает параболы у = х^2-20х + 123 у= х^2+30х+300

Answer

Чтобы найти целые значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает параболы \( y = x^2 - 20x + 123 \) и \( y = x^2 + 30x + 300 \), будем рассматривать условия дискриминанта для каждого из уравнений.

1. Найдем точки пересечения с первой параболой:

Первая парабола: \[ y = x^2 - 20x + 123 \] Сравниваем с прямой: \[ kx = x^2 - 20x + 123 \] Преобразуем уравнение: \[ x^2 - (20 + k)x + 123 = 0 \] Теперь вычислим дискриминант \( D_1 \): \[ D_1 = (20 + k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 123 \] \[ D_1 = (20 + k)^2 - 492 \]

Для того чтобы прямая не пересекала параболу, необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля: \[ (20 + k)^2 - 492 < 0 \] Решим это неравенство: \[ (20 + k)^2 < 492 \] \[ |20 + k| < \sqrt{492} \] \[ \sqrt{492} \approx 22.2 \Rightarrow -22.2 < 20 + k < 22.2 \] Отсюда получаем: \[ -42.2 < k < 2.2 \] То есть \( k \) может принимать целые значения от \(-42\) до \(2\): \(-42, -41, \ldots, 2\).

Количество целых значений \( k \): \[ 2 - (-42) + 1 = 45 \]

2. Найдем точки пересечения со второй параболой:

Вторая парабола: \[ y = x^2 + 30x + 300 \] Сравниваем с прямой: \[ kx = x^2 + 30x + 300 \] Преобразуем уравнение: \[ x^2 + (30 - k)x + 300 = 0 \] Теперь вычислим дискриминант \( D_2 \): \[ D_2 = (30 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 \] \[ D_2 = (30 - k)^2 - 1200 \]

Также для того чтобы прямая не пересекала параболу, необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля: \[ (30 - k)^2 - 1200 < 0 \] Решим это неравенство: \[ (30 - k)^2 < 1200 \] \[ |30 - k| < \sqrt{1200} \] \[ \sqrt{1200} \approx 34.64 \Rightarrow -34.64 < 30 - k < 34.64 \] Отсюда получаем: \[ -4.64 < k < 64.64 \] То есть \( k \) может принимать целые значения от \(-4\) до \(64\): \(-4, -3, \ldots, 64\).

Количество целых значений \( k \): \[ 64 - (-4) + 1 = 69 \]

3. Объединим результаты

Теперь объединяем условия: \( k \) должен одновременно удовлетворять обоим неравенствам:

Для первой параболы: \( -42 < k < 2 \)
Для второй параболы: \( -4 < k < 64 \)

Объединяя эти интервалы, получаем: \[ -4 < k < 2 \] То есть целые значения \( k \) могут быть \(-4, -3, -2, -1, 0, 1\), что дает: \[ 2 - (-4) + 1 = 7 \]

Ответ

Таким образом, существует 7 целых значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает обе параболы.

Question 2

сколько целых значений к при которых прямая у = ух не пересекает параболы у = х^2-20х + 123 у= х^2+30х+300

Answer

Чтобы найти целые значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает параболы \( y = x^2 - 20x + 123 \) и \( y = x^2 + 30x + 300 \), будем рассматривать условия дискриминанта для каждого из уравнений. ### 1. Найдем точки пересечения с первой параболой: Первая парабола: \[ y = x^2 - 20x + 123 \] Сравниваем с прямой: \[ kx = x^2 - 20x + 123 \] Преобразуем уравнение: \[ x^2 - (20 + k)x + 123 = 0 \] Теперь вычислим дискриминант \( D_1 \): \[ D_1 = (20 + k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 123 \] \[ D_1 = (20 + k)^2 - 492 \] Для того чтобы прямая не пересекала параболу, необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля: \[ (20 + k)^2 - 492 < 0 \] Решим это неравенство: \[ (20 + k)^2 < 492 \] \[ |20 + k| < \sqrt{492} \] \[ \sqrt{492} \approx 22.2 \Rightarrow -22.2 < 20 + k < 22.2 \] Отсюда получаем: \[ -42.2 < k < 2.2 \] То есть \( k \) может принимать целые значения от \(-42\) до \(2\): \(-42, -41, \ldots, 2\). Количество целых значений \( k \): \[ 2 - (-42) + 1 = 45 \] ### 2. Найдем точки пересечения со второй параболой: Вторая парабола: \[ y = x^2 + 30x + 300 \] Сравниваем с прямой: \[ kx = x^2 + 30x + 300 \] Преобразуем уравнение: \[ x^2 + (30 - k)x + 300 = 0 \] Теперь вычислим дискриминант \( D_2 \): \[ D_2 = (30 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 \] \[ D_2 = (30 - k)^2 - 1200 \] Также для того чтобы прямая не пересекала параболу, необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля: \[ (30 - k)^2 - 1200 < 0 \] Решим это неравенство: \[ (30 - k)^2 < 1200 \] \[ |30 - k| < \sqrt{1200} \] \[ \sqrt{1200} \approx 34.64 \Rightarrow -34.64 < 30 - k < 34.64 \] Отсюда получаем: \[ -4.64 < k < 64.64 \] То есть \( k \) может принимать целые значения от \(-4\) до \(64\): \(-4, -3, \ldots, 64\). Количество целых значений \( k \): \[ 64 - (-4) + 1 = 69 \] ### 3. Объединим результаты Теперь объединяем условия: \( k \) должен одновременно удовлетворять обоим неравенствам: - Для первой параболы: \( -42 < k < 2 \) - Для второй параболы: \( -4 < k < 64 \) Объединяя эти интервалы, получаем: \[ -4 < k < 2 \] То есть целые значения \( k \) могут быть \(-4, -3, -2, -1, 0, 1\), что дает: \[ 2 - (-4) + 1 = 7 \] ### Ответ Таким образом, существует 7 целых значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает обе параболы.