Задача 7. (11 баллов) Три деревни, Александровка, Михайловка и Иваново, ведут между собой торговлю. Александровка поставляет на рынок 9 коробок, Михайловка - 10, а Иваново - 7. В…

Для решения задачи, давайте обозначим количество коробок, обменянных между тремя деревнями.

Пусть:

• \( a \) — коробки, обменянные между Александровкой и Михайловкой,
• \( b \) — коробки, обменянные между Александровкой и Иваново,
• \( c \) — коробки, обменянные между Михайловкой и Иваново.

В начале дня:

• Александровка поставляет 9 коробок,
• Михайловка поставляет 10 коробок,
• Иваново поставляет 7 коробок.

Всего коробок, которые деревни поставили, составляют: \( 9 + 10 + 7 = 26 \) коробок.

В конце дня:

• Александровка получила 11 коробок,
• Михайловка получила 7 коробок,
• Иваново получило 8 коробок.

Теперь выясним, сколько коробок каждая деревня отдала:

• Александровка отдала: \( 9 - 11 = -2 \) (значит, она получила 2 коробки в чистом виде),
• Михайловка отдала: \( 10 - 7 = 3 \) (она отдала 3 коробки в чистом виде),
• Иваново отдала: \( 7 - 8 = -1 \) (значит, она получила 1 коробку в чистом виде).

Теперь составим уравнения по обмену:

1. Александровка = \( a + b \) (сколько она отдала другим)
2. Михайловка = \( a + c \) (сколько она отдала другим)
3. Иваново = \( b + c \) (сколько она отдала другим)

Теперь запишем уравнения по каждому деревне:

1. Для Александровки: \( a + b = 2 \) (получила 2 коробки)
2. Для Михайловки: \( a + c = 3 \) (отдала 3 коробки)
3. Для Иваново: \( b + c = 1 \) (отдала 1 коробку)

Теперь у нас есть система из трёх уравнений:

1. \( a + b = 2 \)
2. \( a + c = 3 \)
3. \( b + c = 1 \)

Мы можем выразить \( b \) из первого уравнения: \( b = 2 - a \).

Подставляем \( b \) во второе и третье уравнения:

1. \( a + c = 3 \) (оставляем как есть)
2. \( (2 - a) + c = 1 \) .

Перепишем второе уравнение: \( 2 - a + c = 1 \), что дает нам: \( c = a - 1 \).

Теперь мы подставим \( c \) во второе уравнение \( a + c = 3 \): \( a + (a - 1) = 3 \), откуда: \( 2a - 1 = 3 \), \( 2a = 4 \), \( a = 2 \).

Теперь мы знаем \( a \). Подставим его обратно, чтобы найти \( b \) и \( c \): \( b = 2 - a = 2 - 2 = 0 \), \( c = a - 1 = 2 - 1 = 1 \).

Таким образом, количество коробок, участвовавших в обмене между Александровкой и Михайловкой, составило 2 коробки.