Женя решил вести активный образ жизни и бегать на стадионе. Перед пробежкой он берет с собой флажки, которые расставляет во время пробежки вдоль беговой дорожки. Первый флажок соответствует началу дорожки, этот флажок Вася устанавливает всегда устанавливает на старте. Длина одного круга стадиона 462 метров. Вася сначала расставил 26 флажка на расстоянии 35 метра друг от друга, затем развернулся, побежал в обратном направлении, расставил еще 43 флажок через каждый 14 метр. Сколько получится точек вдоль беговой дорожки, в которых установлено больше одного флажка?

Чтобы решить задачу, сначала необходимо рассчитать, на каких позициях были установлены флажки.

1. Расстановка первых 26 флажков: Флажки устанавливаются на расстоянии 35 метров друг от друга, начиная с нуля:

   • Позиции флажков: \(0, 35, 70, \ldots, 35 \times 25\)
   • Последний флажок будет установлен в позиции \(35 \times 25 = 875\) метров.

2. Расстановка следующих 43 флажков: Затем Женя разворачивается и начинает устанавливать флажки каждые 14 метров в обратном направлении. Поскольку длина стадиона 462 метра, необходимо учитывать, что Женя будет устанавливать флажки также с учетом обработки длинны круга:

   • Позиции флажков: \(875, 875 - 14, 875 - 2 \times 14, \ldots\), пока не вернемся к началу стадиона.
   • Для нахождения позиции флажков нужно сделать так, чтобы они были в пределах длины стадиона, т.е. нужно взять остаток от деления на 462.

Расчет позиции флажков в обратном направлении:

• Первый флажок: \(875 \mod 462 = 413\)
• Второй флажок: \((875 - 14) \mod 462 = (861) \mod 462 = 399\)
• Третий флажок: \((875 - 28) \mod 462 = (847) \mod 462 = 385\)
• И так далее. Можно продолжать убывать на 14 и брать по модулю 462 до тех пор, пока не установим 43 флажка.

Посчитаем, насколько далеко мы должны пойти, чтобы установить 43 флажка:

• Обозначаем позицию \(P_n = 875 - 14n\)
• Для \(n = 43\): \(P_{43} = 875 - 14 \times 43 = 875 - 602 = 273\)

Теперь проверим, сколько раз каждый из флажков из первой серии встречается с флажками из второй серии.

3. Находим все позиции:

   • Флажки на первой серии: 0, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455, 490, 525, 560, 595, 630, 665, 700, 735, 770, 805, 840, 875.
   • Флажки на второй серии (с остатком): 413, 399, 385, 371, 357, 343, 329, 315, 301, 287, 273, 259, 245, 231, 217, 203, 189, 175, 161, 147, 133, 119, 105, 91, 77, 63, 49, 35, 21, 7.

4. Сравниваем позиции и находим дубли: Теперь мы можем видеть, что на позициях 35, 105, 175, 245, 315, 385 есть дубли. Посчитаем уникальные позиции:

   0, 7, 21, 35, 49, 63, 70, 77, 91, 105, 119, 133, 140, 
   147, 161, 175, 189, 203, 210, 217, 231, 245, 259, 
   273, 287, 301, 315, 329, 343, 357, 371, 385, 399, 
   413, 420, 455, 462, 490, 525, 560, 595, 630, ...
   

Итак, флажки, установленные более одного раза, находятся на следующих позициях:

• 35, 105, 175, 245, 315, 385.

Итак, окончательный ответ: 6 уникальных точек вдоль беговой дорожки, где установлено более одного флажка.