Женя решил вести активный образ жизни и бегать на стадионе. Перед пробежкой он берет с собой флажки, которые расставляет во время пробежки вдоль беговой дорожки. Первый флажок…
Женя решил вести активный образ жизни и бегать на стадионе. Перед пробежкой он берет с собой флажки, которые расставляет во время пробежки вдоль беговой дорожки. Первый флажок соответствует началу дорожки, этот флажок Вася устанавливает всегда устанавливает на старте. Длина одного круга стадиона 462 метров. Вася сначала расставил 26 флажка на расстоянии 35 метра друг от друга, затем развернулся, побежал в обратном направлении, расставил еще 43 флажок через каждый 14 метр. Сколько получится точек вдоль беговой дорожки, в которых установлено больше одного флажка?
Для начала рассчитаем положения флажков, расставленных Жени в обоих направлениях.
Флажки в первом направлении (26 флажков через 35 метров):
- Расстояние до каждого флажка: \(0, 35, 70, \ldots, 25 \times 35\)
- Последний флажок будет установлен на расстоянии \(25 \times 35 = 875\) метров.
- Учитывая, что длина круга составляет 462 метра, мы можем перевести это расстояние на дорожку стадиона: \[ 875 \mod 462 = 413 \text{ метров} \]
- То есть, флажки находятся на следующих расстояниях: \[ 0, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455, 0\, (также \, 462, 35\, и\, т.д.) \]
- Поскольку мы продолжаем по кругу, мы получаем: \[ 0, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455, 41, 76 \]
- Все уникальные флажки: \[ 0, 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455. \]
Флажки во втором направлении (43 флажка через 14 метров):
- Расстояние до каждого флажка: \(0, 14, 28, \ldots, 42 \times 14\)
- Последний флажок будет установлен на расстоянии \(42 \times 14 = 588\) метров.
- Изменяем его позицию на круге стадиона: \[ 588 \mod 462 = 126 \text{ метров} \]
- То есть, флажки находятся на следующих расстояниях: \[ 0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154, 168, 182, 196, 210, 224, 238, 252, 266, 280, 294, 308, 322, 336, 350, 364, 378, 392, 406, 420, 434, 448, 462. \]
- Все уникальные флажки: \[ 0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154, 168, 182, 196, 210, 224, 238, 252, 266, 280, 294, 308, 322, 336, 350, 364, 378, 392, 406, 420, 434, 448 \text{ и\, тот\, же\, 462.} \]
Объединяем флажки:
- Сначала обобщим все флажки, установленные в обоих направлениях.
- Мы объединяем списки и находим уникальные места и пересечения, где флажки были установлены: \[ 0, 14, 35, 42, 56, 70, 84, 98, 105, 112, 126, 140, 154, 168, 175, 182, 196, 210, 224, 238, 245, 252, 266, 280, 294, 308, 315, 322, 336, 350, 364, 378, 392, 406, 420, 434, 448, 455, 462. \]
- Теперь мы находим, сколько различных точек имеет более одного флажка.
Таким образом, точки с более чем одним флажком:
- 0 (обе партии)
- 70, 140, 210, 280, 350, 420 (существует по два) Так что всего у нас 7 точек.
Ответ: 7 точек вдоль беговой дорожки, в которых установлено больше одного флажка.
