Задача 5. (10 баллов) Для целых чисел а, b и с верно равенство а + 3b = 4b + 6с = 3с + 6а. Найдите наименьшее положительное значение суммы а + b + с.
Дана система равенств:
- \( a + 3b = 4b + 6c \)
- \( 4b + 6c = 3c + 6a \)
Решим эту систему:
Первое равенство преобразуем:
\[ a + 3b = 4b + 6c \implies a = b + 6c \tag{1} \]
Второе равенство:
\[ 4b + 6c = 3c + 6a \implies 4b + 6c - 3c = 6a \implies 4b + 3c = 6a \implies 6a = 4b + 3c \tag{2} \]
Теперь выразим \( a \) из уравнения (1) и подставим его в (2):
Подставляем \( a = b + 6c \) в (2):
\[ 6(b + 6c) = 4b + 3c \]
Раскроем скобки:
\[ 6b + 36c = 4b + 3c \]
Переносим все элементы на одну сторону:
\[ 6b - 4b + 36c - 3c = 0 \implies 2b + 33c = 0 \]
Это означает:
\[ 2b = -33c \implies b = -\frac{33}{2}c \]
Так как \( b \) - целое число, то \( c \) должно быть четным. Пусть \( c = 2k \), тогда:
\[ b = -33k \]
Теперь найдём \( a \):
Подставим в уравнение (1):
\[ a = b + 6c = -33k + 6(2k) = -33k + 12k = -21k \]
Теперь у нас есть выражения для всех переменных:
- \( a = -21k \)
- \( b = -33k \)
- \( c = 2k \)
Теперь найдем сумму:
\[ a + b + c = -21k - 33k + 2k = -52k \]
Мы ищем наименьшее положительное значение \( a + b + c \). Для этого \( -52k > 0 \), что выполняется при \( k < 0 \). Для минимимости возьмем \( k = -1 \):
\[ a + b + c = -52(-1) = 52 \]
Таким образом, наименьшее положительное значение суммы \( a + b + c \) равно \( 52 \).
Ответ: \( 52 \).
