11 жирафов-фотографов разного роста встают по кругу. Каждый фотографирует всех остальных, не сходя с места (на фотографии получаются все остальные жирафы слева направо в порядке обхода от автора фотографии по часовой стрелке). Назовем фотографию хорошей, если на ней в обе стороны от самого высокого жирафа все остальные стоят по убыванию роста. Сколько у жирафов способов встать в круг так, чтобы среди 10 сделанных в этом кругу фотографий было ровно 3 хороших?
Для решения данной задачи сначала обозначим количество жирафов как \( n = 11 \), чтобы легче с ним работать. Из 11 фотографов 1 будет самым высоким, а остальные 10 будут иметь различные, меньшие росты.
Мы хотим, чтобы среди 10 фотографий, сделанных круглым расположением, было точно 3 "хороших".
Анализ "хорошей" фотографии
Фотография будет хорошей, если на ней кроме самого высокого жирафа все остальные жирафы стоят по убыванию роста в обе стороны от него.
Предположим, что жираф с самым высоким ростом обозначен как \( H \), а оставшиеся жирафы обозначим как \( A_1, A_2, \ldots, A_{10} \) таким образом, что \( A_1 > A_2 > \ldots > A_{10} \).
Расположение жирафов
Выбор позиций для "хороших" фотографий: Наша задача поставить жирафа \( H \) так, что он будет в круге и выбранные 3 позиции для "хороших" фотографий должны находиться вокруг него.
Позиция жирафа \( H \): Количество способов расположить жирафа \( H \) в круге не играет роли, так как мы можем зафиксировать одну позицию (например, 12-ю) и считать остальные.
Позиции для 3 хороших фотографий: Чтобы фотография была хорошей в круге, другие жирафы должны располагаться согласно убыванию их роста. Мы можем выбрать 3 позиции для хороших фотографий из 10 оставшихся жирафов.
Выберем 3 жирафа из 10 для хорошо расположенных фотографий. Количество способов выбрать 3 жирафа из 10 равно:
\[ \binom{10}{3} \]
После выбора 3-х жирафов, нам нужно расположить оставшиеся 7 жирафов так, чтобы они не мешали (то есть не образовывали хорошую фотографию).
- Расположение оставшихся жирафов: Для того чтобы остальные жирафы (из 7 оставшихся) не добавляли дополнительные хорошие фотографии, мы можем их расставить между выбранными "хорошими" фотографиями.
Таким образом, 7 оставшихся жирафов могут занимать места в 7 местах между 3 выбранными (изучая кольцевое расположение жирафов). Поскольку каждый набор жирафов должен оставаться по убыванию в рамках своей группы, количество способов расставить оставшиеся 7 жирафов (уже в заданной убывающей последовательности) равно:
\[ 7! \]
Полное количество расположений
Теперь для полного подсчета всё сводится к:
\[ \binom{10}{3} \cdot 7! \]
Теперь вычислим:
- \(\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\)
- \(7! = 5040\)
Таким образом, общее количество способов расположить жирафов так, что ровно 3 фотографии будут хорошими, равно:
\[ 120 \times 5040 = 604800. \]
Ответ: \( 604800 \).
