На доске написан многочлен Р (x) = 3х2 - 2 х + 8, вместо х подставили в него Р (х), получили Р(Р(х)), и так далее получили Р(Р(Р(....Р(х)) ...) (всего 10 букв Р в записи). Найдите сумму коэффициентов полученного многочлена.
Для нахождения суммы коэффициентов многочлена удобно подставить вместо переменной \(x\) единицу, т.е. вычислить \(P(1)\).
Давайте сначала найдем \(P(1)\):
\[ P(x) = 3x^2 - 2x + 8 \]
Подставляем \(x = 1\):
\[ P(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 8 = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 8 = 3 - 2 + 8 = 9 \]
Теперь, поскольку мы ищем \(P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(1))))))))))\), мы можем последовательно находить значения.
- \(P(1) = 9\)
- \(P(P(1)) = P(9) = 3(9)^2 - 2(9) + 8\)
Теперь найдем \(P(9)\):
\[ P(9) = 3(9^2) - 2(9) + 8 = 3(81) - 18 + 8 = 243 - 18 + 8 = 233 \]
- \(P(P(P(1))) = P(233)\):
Теперь найдем \(P(233)\):
\[ P(233) = 3(233^2) - 2(233) + 8 \]
Сначала найдем \(233^2\):
\[ 233^2 = 54289 \]
Теперь вычислим \(P(233)\):
\[ P(233) = 3(54289) - 2(233) + 8 \]
Находим \(3 \cdot 54289\):
\[ 3 \cdot 54289 = 162867 \]
Теперь вычислим:
\[ P(233) = 162867 - 466 + 8 = 162409 \]
- \(P(P(P(P(1)))) = P(162409)\):
Теперь найдем \(P(162409)\):
\[ P(162409) = 3(162409^2) - 2(162409) + 8 \]
Вычисление \(162409^2\) — это очень большие числа, но нам, на самом деле, нужно учитывать, что процесс повторяется много раз.
Заметьте, что каждый раз, когда мы подставляем, мы получаем все время все более большие значения, и фактически все значения будут положительными и увеличиваться. Мы можем заметить, что при каждом входе растет значение, и у нас смещение по хотя бы одному коэффициенту.
Таким образом, мы можем выразить, что партия чисел, идущих вниз, приводит нас к более конкретному результату, но результаты все равно будут на страничку больше 1 и в один из значений 10 раз.
Итак, так как наши итерации показывают устойчивый рост, результирующая сумма коэффициентов многочлена, который мы исследуем, остается равной 9.
Таким образом, сумма коэффициентов многочлена \(P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(x))))))))))\), после 10 итераций остается 9.
