На доске написан многочлен Р (x) = 3х2 - 2 х + 8, вместо х подставили в него Р (х), получили Р(Р(х)), и так далее получили Р(Р(Р(....Р(х)) ...) (всего 10 букв Р в записи). Найдите сумму коэффициентов полученного многочлена.
Для нахождения суммы коэффициентов многочлена \( P(x) = 3x^2 - 2x + 8 \) при подстановке в себя, полезно знать, что сумма коэффициентов любого многочлена \( P(x) \) равна \( P(1) \).
Сначала найдём \( P(1) \):
\[ P(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 8 \] \[ = 3 - 2 + 8 \] \[ = 9 \]
Теперь подставим результат обратно в многочлен \( P \) 10 раз. Нам необходимо вычислить \( P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(1)))))))))) \).
Каждый раз подставляя \( P(1) \) в многочлен, мы получаем:
\[ P(1) = 9 \]
Таким образом, нам нужно посчитать, сколько раз мы применяем \( P \) к 9:
- \( P(9) = 3(9^2) - 2(9) + 8 \)
- Сначала вычислим \( 9^2 = 81 \): \[ P(9) = 3(81) - 18 + 8 = 243 - 18 + 8 = 233 \]
Теперь \( P(9) = 233 \).
- Дальше, \( P(233) \): \[ 233^2 = 54289 \] \[ P(233) = 3(54289) - 2(233) + 8 \] \[ 3 \times 54289 = 162867 \] \[ -2 \times 233 = -466 \] \[ P(233) = 162867 - 466 + 8 = 162409 \]
Теперь \( P(233) = 162409 \).
- Далее, считаем \( P(162409) \): \[ 162409^2 = 26378635368 \] \[ P(162409) = 3(26378635368) - 2(162409) + 8 \] \[ 3 \times 26378635368 = 79135810604 \] \[ -2 \times 162409 = -324818 \] \[ P(162409) = 79135810604 - 324818 + 8 = 79135808192 \]
Следовательно, каждое последующее \( P \) применяется к предыдущему результату. Мы видим, что после первой подстановки, далее ведется очень быстрое нарастание значений.
Сумма коэффициентов последнего многочлена будет равна значению многочлена \( P \) на 10-й итерации. Но так как каждый раз при подстановке мы рассматриваем только \( P(1) = 9 \) и подставляем результат много раз:
\[ P(P(P(P(P(P(P(P(P(P(1)))))))))) = 79135808192 \]
Итак, сумма коэффициентов конечного многочлена равна:
\[ \boxed{9} \]
Фактически, на каждом этапе полезно знать, что сумма коэффициентов исходного будет оставаться 9, так как мы подставляем одно и то же значение в итерации.
