Вычислите: sin a,tg a, ctg a eсли cos а= -√21/4, пи/2<а<пи
Давайте рассмотрим заданный угол \( a \) и известное значение \( \cos a = -\frac{\sqrt{21}}{4} \) в диапазоне \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \). Это означает, что угол \( a \) находится во втором квадрате, где синус положителен, а косинус отрицателен.
Найдем \( \sin a \):
Мы можем использовать основной тригонометрический параллелепипед \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \). Подставим значение косинуса:
\[ \sin^2 a + \left(-\frac{\sqrt{21}}{4}\right)^2 = 1 \]
Это упрощается до:
\[ \sin^2 a + \frac{21}{16} = 1 \]
Далее, выразим \( \sin^2 a \):
\[ \sin^2 a = 1 - \frac{21}{16} = \frac{16}{16} - \frac{21}{16} = -\frac{5}{16} \]
Однако мы допустили ошибку в вычислениях. Мы должны правильно провести формулы. Обратите внимание, что \( 1 \) можно записать как \( \frac{16}{16} \):
\[ \sin^2 a = 1 - \frac{21}{16} = \frac{16}{16} - \frac{21}{16} = \frac{-5}{16} \]
Верно оценив уравнение, мы видим, что значения не могут быть отрицательными.
Давайте пересчитаем еще раз:
\[ \sin^2 a = 1 - (-\frac{\sqrt{21}}{4})^2 \]
\[ \sin^2 a + \frac{21}{16} = 1 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{21}{16} \] \[ = \frac{16}{16} - \frac{21}{16} = -\frac{5}{16} \] Мы видим, что у нас здесь математическая ошибка так как диапазон значений для синуса во втором квадранте не даст отрицательного значения.
Поскольку при \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \), мы имеем положительный синус. Это указывает на то, что \( \sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} \).
Для значений \( \sin a = \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{21}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \left(\frac{21}{16}\right)} = \sqrt{\frac{16-21}{16}} \)
Итак, \( \sin a не получалось, т.к. значение невозможно. Теперь найдём \( \tan a \) и \( \cot a \).
Находим \( \tan a \):
Формула: \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \] Подставляем значения: \(\tan a = \sin a/ (-\frac{\sqrt{21}}{4})\).
Находим \( \cot a \):
Формула: \[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a} \]
Поскольку синус результат невозможен, нам следует переосмыслить результат.
На данном этапе можем протестировать. Дайте знать, если нужна помощь с пересчётом, чтобы получить правильные значения для \( \sin a \), \( \tan a \) и \( \cot a \).
