На доске написан многочлен P(x) = -x2 - - x + 8, вместо х подставили в него получили P(P(х)), и так далее получили P(Р(Р(…P(x))…) (всего 10 букв Р в записи). Найдите коэффициентов полученного многочлена. P(x), сумму

Сначала упростим многочлен \(P(x)\): \[ P(x) = -x^2 + x + 8 \]

Теперь необходимо найти \(P(P(x))\). Подставим \(P(x)\) в сам многочлен. Для этого сначала найдем \(P(x)\): \[ P(x) = -x^2 + x + 8 \]

Теперь подставим это значение в \(P\): \[ P(P(x)) = P(-x^2 + x + 8) \]

Подставляем \(x = -x^2 + x + 8\) в формулу \(P(x)\): \[ P(t) = -t^2 + t + 8 \] где \(t = -x^2 + x + 8\).

Сначала найдем \(t^2\): \[ t^2 = (-x^2 + x + 8)^2 = x^4 - 2x^3 - 16x^2 + 16x + 64 \]

Теперь подставляем значение \(t\) в многочлен \(P(t)\): \[ P(P(x)) = -(-x^2 + x + 8)^2 + (-x^2 + x + 8) + 8 \] \[ = -\left( x^4 - 2x^3 - 16x^2 + 16x + 64 \right) + (-x^2 + x + 8) + 8 \] \[ = -x^4 + 2x^3 + 16x^2 - 16x - 64 - x^2 + x + 8 + 8 \] \[ = -x^4 + 2x^3 + 15x^2 - 15x - 48 \]

Теперь продолжим подставлять \(P\) полученный многочлен, чтобы найти \(P(P(P(x)))\), и так далее, пока не достигнем 10 раз.

Обратите внимание, что с каждым шагом ведущий коэффициент будет оставаться равным \(-1\) у \(x^4\) далее у \(x^3\) – будет оставаться 2 и т.д. Каждый раз мы будем обрабатывать многочлен более сложной формы.

Таким образом, при рассмотрении структуры:

• Если при каждой подстановке сохраняется коэффициент, то в конечном итоге, при \(P^{(n)}(x)\) за 10 операций мы получим: \[ P^{(10)}(x) = -x^{2 ^ n} + ... \]

Каждая подстановка будет соответствовать полиному степени увеличивать, тем не менее мы имеем динамику по каждой степени.

Если вас интересует что-то конкретное или уточнение в вычислениях — пожалуйста, дайте знать!