5cos^2x+7cosx-6=0

Решим уравнение \( 5\cos^2x + 7\cos x - 6 = 0 \).

1. Сначала обозначим \( u = \cos x \). Тогда уравнение преобразуется в стандартное квадратное уравнение:

   \[ 5u^2 + 7u - 6 = 0 \]

2. Теперь применим формулу решения квадратного уравнения:

   \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

   Здесь \( a = 5 \), \( b = 7 \), и \( c = -6 \).

3. Сначала вычисляем дискриминант:

   \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 \]

4. Теперь подставим значения в формулу:

   \[ u = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 \pm 13}{10} \]

5. Вычислим два возможных значения \( u \):

   • Первое значение: \[ u_1 = \frac{-7 + 13}{10} = \frac{6}{10} = 0.6 \]

   • Второе значение: \[ u_2 = \frac{-7 - 13}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \]

6. Поскольку \( u = \cos x \) и \( \cos x \) не может принимать значения меньше -1 или больше 1, оставляем только \( u_1 = 0.6 \).

7. Теперь находим \( x \): \[ \cos x = 0.6 \]

   Находим углы \( x \):

   \[ x = \arccos(0.6) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\arccos(0.6) + 2k\pi \]

   где \( k \) — любое целое число.

8. Рассчитаем значение \( \arccos(0.6) \): \[ \arccos(0.6) \approx 0.927 \, \text{рад} \]

Итак, общий ответ будет:

\[ x \approx 0.927 + 2k\pi \quad \text{и} \quad x \approx -0.927 + 2k\pi \]

Таким образом, вы получили адекватные решения данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!