В круг радиуса 1 см вписан правильный треугольник. Точку «бросают» в круг. Какова вероятность попадания точки в треугольник?

Вопрос о вероятности попадания точки в правильный треугольник, вписанный в круг радиуса 1 см, можно решить, найдя соотношение площадей треугольника и круга.

1. Площадь круга: Площадь круга рассчитывается по формуле \( S_{\text{круга}} = \pi R^2 \), где \( R \) — радиус круга. В нашем случае радиус \( R = 1 \) см, поэтому: \[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ см}^2. \]

2. Площадь правильного треугольника: Правильный треугольник, вписанный в круг, имеет радиус описанной окружности, равный радиусу круга. Для правильного треугольника со стороной \( a \) площадь можно вычислить по формуле: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \] Для правильного треугольника, вписанного в круг радиусом \( R = 1 \), длина стороны \( a \) выражается как: \[ a = R \cdot \sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}. \] Теперь подставим это значение в формулу для площади треугольника: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4}. \]

3. Вероятность попадания точки в треугольник: Вероятность \( P \) того, что точка попадет в треугольник, вычисляется как отношение площади треугольника к площади круга: \[ P = \frac{S_{\text{треугольника}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\pi}. \]

Таким образом, вероятность попадания точки в вписанный в круг правильный треугольник равна: \[ P = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}. \]

Это значение иллюстрирует, насколько вероятно, что случайная точка, "брошенная" в круг, окажется внутри треугольника.