Log_2(sqrt(3) * sin(pi/2 + x) + sin 2x + 32) = 5

Для решения уравнения:

\[ \log_2(\sqrt{3} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sin 2x + 32) = 5 \]

начнем с преобразования логарифма. Мы знаем, что:

\[ \log_b(a) = c \Longleftrightarrow a = b^c. \]

В нашем случае, это означает:

\[ \sqrt{3} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sin 2x + 32 = 2^5. \]

Расчет \(2^5\) дает:

\[ 2^5 = 32. \]

Следовательно, уравнение становится:

\[ \sqrt{3} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sin 2x + 32 = 32. \]

Теперь вычтем 32 из обеих сторон:

\[ \sqrt{3} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sin 2x = 0. \]

Следующий шаг — использовать тригонометрическую идентичность \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\):

\[ \sqrt{3} \cdot \cos x + \sin 2x = 0. \]

Распишем \(\sin 2x\) с помощью двойного угла:

\[ \sin 2x = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x. \]

Итак, подставив это в уравнение, получаем:

\[ \sqrt{3} \cdot \cos x + 2 \cdot \sin x \cdot \cos x = 0. \]

Здесь можем вынести \(\cos x\) за скобки:

\[ \cos x \left(\sqrt{3} + 2 \sin x\right) = 0. \]

Теперь у нас есть два случая:

1. \(\cos x = 0\)
2. \(\sqrt{3} + 2 \sin x = 0\)

Решаем первый случай:

\(\cos x = 0\) имеет решения вида:

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Для второго случая:

\[ 2 \sin x = -\sqrt{3} \quad \Longrightarrow \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Это равенство выполнено для:

\[ x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Таким образом, полное множество решений уравнения:

1. \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)
2. \(x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\)
3. \(x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\)

где \(k\) — любое целое число.