1.80 На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массой 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α = 60° и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шара при ударе. Ответ: 0,044 м; 1,3 Дж.

Для решения этой задачи давайте рассмотрим несколько ключевых моментов.

1. Исходные условия: У нас есть два свинцовых шара (массой 0,5 кг и 1 кг), которые соприкасаются друг с другом. Один из шаров (меньшей массы) отклоняется под углом α = 60° и затем отпускается.

2. Начальная потенциальная энергия: Когда мы отклоняем шар на угол 60°, он приобретает потенциальную энергию, которую можно рассчитать следующим образом. Высота подъема шара будет равна разнице его высоты до и после отклонения.

   Высота h, на которую поднимается шар при смещении под углом 60°, рассчитывается как: \[ h = L - L \cos(60°) = L(1 - \cos(60°)) = 0,8\,\text{м} \cdot (1 - 0,5) = 0,8\,\text{м} \cdot 0,5 = 0,4\,\text{м}. \]

   Поскольку у нас два шара, которые соприкасаются между собой, после падения первого шара потенциальная энергия может быть пересчитана для обеих масс.

3. Закон сохранения импульса: В неупругом столкновении два тела соединяются и движутся вместе. Сначала находим скорость меньшего шара перед столкновением, используя закон сохранения механической энергии:

   Потенциальная энергия теряется на преобразование в кинетическую: \[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 \rightarrow 0,5 \cdot 9,81 \cdot 0,4 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot v^2. \]

   Получаем: \[ 1,962 = 0,25v^2 \rightarrow v^2 = 1,962 \cdot 4 \rightarrow v^2 = 7,848 \rightarrow v \approx 2,8\,\text{м/с}. \]

4. Сохранение импульса при столкновении: \[ m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)V, \] где \(m_1 = 0,5\,\text{кг}\), \(m_2 = 1\,\text{кг}\), \(v_1 = 2,8\,\text{м/с}\) и \(v_2 = 0\).

   Подставляем в формулу: \[ 0,5 \cdot 2,8 + 1 \cdot 0 = (0,5 + 1)V \Rightarrow 1,4 = 1,5V \Rightarrow V \approx 0,933\,\text{м/с}. \]

5. Высота, на которую поднимутся оба шара после столкновения: Используем ту же формулу потенциальной энергии для обоих масс, которые теперь движутся вместе: \[ \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V^2 = (m_1 + m_2)gh \Rightarrow \frac{1}{2}(1,5) \cdot 0,933^2 = (1,5)gh. \]

6. Подставляя ускорение свободного падения \( g \approx 9,81\,\text{м/с}^2 \): \[ \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot 0,87 \approx 1,5 \cdot 9,81 h \Rightarrow 0,6525 \approx 14,715h \Rightarrow h \approx 0,044\,\text{м}. \]

7. Энергия, израсходованная на деформацию: Для определения энергии, затраченной на деформацию, используем разницу между потерянной кинетической энергией до и после столкновения.

   Начальная энергия: \[ E_{нач} = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 2,8^2 = 1,96\, Дж, \] конечная энергия: \[ E_{кон} = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot 0,933^2 \approx 0,65\, Дж. \]

   Затем: \[ E_{деформация} = E_{нач} - E_{кон} \approx 1,96 - 0,65 \approx 1,31\, Дж. \]

Таким образом, оба шара поднимутся на высоту приблизительно 0,044 м, а энергия, израсходованная на деформацию при ударе, составит около 1,3 Дж.