сколько целых значений k, при которых прямая y=kx не пересекает параболы y=x²-20x+123 и y=x²+30x+300?

Чтобы определить количество целых значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает параболы \( y = x^2 - 20x + 123 \) и \( y = x^2 + 30x + 300 \), рассмотрим условия, при которых две кривые не пересекаются.

1. Для первой параболы \( y = x^2 - 20x + 123 \) найдем её вершину и дискриминант.

   Вершина параболы находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -20 \): \[ x = -\frac{-20}{2 \cdot 1} = 10 \]

   Подставим \( x = 10 \) в уравнение параболы, чтобы найти координаты вершины: \[ y = 10^2 - 20 \cdot 10 + 123 = 100 - 200 + 123 = 23 \]

   Таким образом, вершина первой параболы находится в точке \( (10, 23) \).

   Далее найдем дискриминант для уравнения: \[ kx = x^2 - 20x + 123 \implies x^2 - (20 + k)x + 123 = 0 \] Дискриминант: \[ D_1 = (20 + k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 123 = (20 + k)^2 - 492 \] Для того чтобы прямая не пересекалась с параболой, необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля: \[ (20 + k)^2 < 492 \] Решим неравенство: \[ -\sqrt{492} < 20 + k < \sqrt{492} \] Поскольку \( \sqrt{492} \approx 22.18 \), получаем: \[ -22.18 < 20 + k < 22.18 \] Таким образом: \[ -22.18 - 20 < k < 22.18 - 20 \] \[ -42.18 < k < 2.18 \]

2. Для второй параболы \( y = x^2 + 30x + 300 \) также найдем её дискриминант: \[ kx = x^2 + 30x + 300 \implies x^2 + (30 - k)x + 300 = 0 \] Дискриминант: \[ D_2 = (30 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = (30 - k)^2 - 1200 \] Для того чтобы прямая не пересекалась с параболой, требуется: \[ (30 - k)^2 < 1200 \] Разрешим это неравенство: \[ -\sqrt{1200} < 30 - k < \sqrt{1200} \] Поскольку \( \sqrt{1200} \approx 34.64 \), получаем: \[ -34.64 < 30 - k < 34.64 \] Следовательно: \[ -34.64 - 30 < -k < 34.64 - 30 \] \[ -64.64 < -k < 4.64 \] Приумножим каждую часть на \(-1\): \[ 64.64 > k > -4.64 \]

3. Найдём пересечение диапазонов для \( k \):

   • Для первой параболы: \(-42.18 < k < 2.18\)
   • Для второй параболы: \(-4.64 < k < 64.64\)

   Пересечение данных промежутков: \(-4.64 < k < 2.18\)

Теперь находим целые значения \( k \):

• Целые значения в этом диапазоне: \(-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\)

Итак, целых значений \( k \), при которых прямая \( y = kx \) не пересекает параболы, всего 7.