(3х+1)(х-2) <6

Давайте решим неравенство \( (3x+1)(x-2) < 6 \).

1. Переносим 6 на левую сторону: \[ (3x+1)(x-2) - 6 < 0 \]

2. Раскроем скобки: \[ 3x^2 - 6x + x - 2 - 6 < 0 \Rightarrow 3x^2 - 5x - 8 < 0 \]

3. Решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения \( 3x^2 - 5x - 8 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 \]

4. Находим корни с помощью формулы: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \]

5. Теперь у нас есть корни \( x_1 = \frac{8}{3} \) и \( x_2 = -1 \). Далее определим интервалы, где неравенство выполняется: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, \frac{8}{3}) \), \( (\frac{8}{3}, +\infty) \).

6. Проверяем каждый интервал:

   • Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ 3(-2)^2 - 5(-2) - 8 = 12 + 10 - 8 = 14 > 0 \quad (\text{не выполняется}) \]

   • Для \( -1 < x < \frac{8}{3} \) (например, \( x = 0 \)): \[ 3(0)^2 - 5(0) - 8 = -8 < 0 \quad (\text{выполняется}) \]

   • Для \( x > \frac{8}{3} \) (например, \( x = 3 \)): \[ 3(3)^2 - 5(3) - 8 = 27 - 15 - 8 = 4 > 0 \quad (\text{не выполняется}) \]

7. Заключение: Неравенство \( 3x^2 - 5x - 8 < 0 \) выполняется в интервале: \[ (-1, \frac{8}{3}) \]

Таким образом, решением неравенства \( (3x+1)(x-2) < 6 \) является: \[ x \in (-1, \frac{8}{3}) \]