-sin x>= √3 cos x

Решим неравенство \(-\sin x \geq \sqrt{3} \cos x\).

Сначала преобразуем неравенство:

\[ -\sin x - \sqrt{3} \cos x \geq 0 \]

Мы можем выразить это неравенство в другой форме:

\[ \sin x + \sqrt{3} \cos x \leq 0 \]

Для удобства можем занять метод, который включает преобразование в одной тригонометрической функции. Мы можем заметить, что \(\sin x + \sqrt{3} \cos x\) можно представить в виде:

\[ R \sin(x + \phi) \]

где

• \(R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\)
• \(\phi\) определяется как \(\tan \phi = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\), то есть \(\phi = \frac{\pi}{3}\).

Таким образом, у нас есть:

\[ 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) \leq 0 \]

Теперь делим обе части на 2:

\[ \sin(x + \frac{\pi}{3}) \leq 0 \]

Зная, что синус меньше или равен нулю в интервалах:

\[ x + \frac{\pi}{3} \in [\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi] \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Теперь, чтобы найти значение \(x\), мы можем вычесть \(\frac{\pi}{3}\) из всех трех частей неравенства:

\[ \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq x \leq 2\pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \]

Преобразуем границы:

\[ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Таким образом, решение нашего неравенства будет:

\[ x \in \left[\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z} \]

Если у вас есть вопросы или нужны дополнительные пояснения, обязательно дайте знать!