Сколько существует пар натуральных чисел (x;y) , таких, что 3x+4y= 100?

Чтобы найти количество пар натуральных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), давайте начнем с преобразования этого уравнения.

1. Преобразуем уравнение к виду для \(y\): \[ 4y = 100 - 3x \] \[ y = \frac{100 - 3x}{4} \]

2. Условия для \(y\): Поскольку \(y\) должно быть натуральным числом, \(100 - 3x\) должно быть положительным и делимым на 4.

3. Найдем диапазон значений для \(x\): \(100 - 3x > 0\) ⇒ \(100 > 3x\) ⇒ \(x < \frac{100}{3} \approx 33.33\). Следовательно, возможные значения \(x\) – это натуральные числа от 1 до 33.

4. Параметры делимости: Для того чтобы \(100 - 3x\) было делимо на 4, можем записать это условие: \[ 100 - 3x \equiv 0 \mod 4 \] Заметим, что \(100 \equiv 0 \mod 4\), и проверим \(3x \mod 4\): \[ 3x \equiv 0 \mod 4 \] Это означает, что \(x\) должно быть кратно 4, поскольку 3 и 4 взаимно просты.

5. Найдем возможные значения \(x\) в диапазоне от 1 до 33: Кратные 4, которые не превышают 33: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32.

6. Подсчитаем количество: Это значения \(x = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32\), то есть 8 возможных значений \(x\).

Теперь подождите, чтобы найти соответствующий \(y\) для каждой из этих \(x\):

• \(x = 4\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 4}{4} = \frac{88}{4} = 22\)
• \(x = 8\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 8}{4} = \frac{76}{4} = 19\)
• \(x = 12\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 12}{4} = \frac{64}{4} = 16\)
• \(x = 16\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 16}{4} = \frac{52}{4} = 13\)
• \(x = 20\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 20}{4} = \frac{40}{4} = 10\)
• \(x = 24\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 24}{4} = \frac{28}{4} = 7\)
• \(x = 28\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 28}{4} = \frac{16}{4} = 4\)
• \(x = 32\): \(y = \frac{100 - 3 \cdot 32}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

Все эти значения \(y\) также являются натуральными числами.

Таким образом, всего существует 8 пар натуральных чисел \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\).