Монету бросают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 4 раза?
Для решения этой задачи мы можем использовать модель биномиального распределения. Когда мы бросаем монету, у нас два возможных исхода: орёл (обозначим как успех) и решка (неуспех). Вероятность выпадения орла при каждом броске равна 0,5, и количество бросков составляет 5.
Вероятность того, что орёл выпадет ровно k раз в n бросках можно вычислить с помощью формулы биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( P(X = k) \) – вероятность получения k успехов,
- \( C(n, k) \) – биномиальный коэффициент, который показывает, сколько существует способов выбрать k успехов из n испытаний, и вычисляется по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \),
- \( p \) – вероятность успеха (в нашем случае 0,5),
- \( n \) – общее количество испытаний (в нашем случае 5),
- \( k \) – количество успехов (орлов, в нашем случае 4).
Теперь давайте подставим известные значения:
- \( n = 5 \)
- \( k = 4 \)
- \( p = 0.5 \)
Сначала вычислим биномиальный коэффициент \( C(5, 4) \):
\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5 - 4)!} = \frac{5 \times 4!}{4! \times 1!} = 5 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{5 - 4} \]
\[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^1 \]
\[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.5)^5 \]
\[ P(X = 4) = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32} \]
Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза при 5 бросках монеты, равна \(\frac{5}{32}\) или примерно 0,15625 (15,625%).
