В сосуде был сироп. Часть его отлили и долбили столько же воды. Затем, перемешав отлили такую же часть и сосуд опять долбили водой. В сосуде отношение сиропа и воды оказалось…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим переменные. Пусть начальный объем сиропа в сосуде равен \( S \), а объем воды, который добавляется, равен \( W \). Обозначим долю сиропа, которую мы отливаем, как \( x \) (это часть от общего сливания). Так, при каждом сливании из сосуда уходит \( xS \) сиропа.

2. Первый этап: отливание сиропа и добавление воды.

   • После того как мы отливаем \( xS \) сиропа, в сосуде остается \( S - xS = S(1 - x) \) сиропа.
   • Затем мы добавляем такую же часть воды, то есть \( xS \) воды. Теперь в сосуде вода составляет \( xS \).

3. Смешивание. Теперь общее количество жидкости в сосуде \( = S(1 - x) + xS = S \), и соотношение между сиропом и водой сейчас: \[ \text{Соотношение}: \frac{S(1 - x)}{xS} = \frac{1 - x}{x} \]

4. Второй этап: отливание и добавление воды снова.

   • После перемешивания мы снова отливаем \( x \) часть от общего объема, то есть отливаем \( xS \) смеси. По формуле, в этом случае, состав смеси будет \( (1-x):x \).
   • При отливе \( x \) от общего объема мы берем \( x \cdot S \) из \( S \).

5. Теперь давайте подставим значения. После второго отливания и добавления воды остаётся следующее количество:

   • Количество сиропа: \[ S(1 - x) \cdot \left(1 - x\right) + xS \]
   • И количество воды: \[ W = xS \cdot \left(1 - x\right) + xS \]

6. Приведем к известному соотношению 9:7. По условию задачи мы знаем, что: \[ \frac{\text{количество сиропа}}{\text{количество воды}} = \frac{9}{7} \]

Теперь можно выразить \( x \) через расчетное соотношение и решить это равенство.

Решением задачи будет нахождение \( x \), что укажет, какую долю отливали.

Скажем, что: \[ \frac{S(1 - x)}{xS} = \frac{9}{7} \] и далее получится упростить и решить уравнение на нахождение \( x \).

На практике можно подставить известные значения и получить конкретную часть отливаемого раствора.

Если понадобится, можем продолжить и детально рассмотреть, как выразить \( x \) непосредственно из уравнения.