Найди точку пересечения окружности (x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 169 и параболы y = x^2 - 86 с координатами в целых числах

Чтобы найти точки пересечения окружности и параболы с целыми координатами, начнём с уравнений, которые у нас есть.

Уравнение окружности:
\((x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 169\)

Уравнение параболы:
\(y = x^2 - 86\)

Подставим выражение для \(y\) из уравнения параболы в уравнение окружности.

Заменим \(y\) в уравнении окружности:
\((x - 5)^2 + (x^2 - 86 - 2)^2 = 169\)
или
\((x - 5)^2 + (x^2 - 88)^2 = 169\)

Теперь упростим уравнение. Сначала разберёмся с \((x - 5)^2\):
\((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\)

Теперь можно подставить это значение в уравнение:
\(x^2 - 10x + 25 + (x^2 - 88)^2 = 169\)

Теперь упростим вторую часть:
\((x^2 - 88)^2 = x^4 - 176x^2 + 7744\)

Теперь подставим это в уравнение:
\(x^2 - 10x + 25 + x^4 - 176x^2 + 7744 = 169\)

Соберем все термины:
\(x^4 - 175x^2 - 10x + 7744 - 169 = 0\)
или
\(x^4 - 175x^2 - 10x + 7575 = 0\)

Для решения этого уравнения можно использовать численные методы или графический способ, но для поиска целых корней можно подставить целые значения \(x\) вручную и проверять, получаются ли целые \(y\).

Теперь проверим некоторые целые значения:

1. \(x = 0\):
   \(y = 0^2 - 86 = -86\)
   \((0 - 5)^2 + (-86 - 2)^2 = 25 + 7744 = 7769\) (не пересекается)

2. \(x = 5\):
   \(y = 5^2 - 86 = -61\)
   \((5 - 5)^2 + (-61 - 2)^2 = 0 + 3969 = 3969\) (не пересекается)

3. \(x = 10\):
   \(y = 10^2 - 86 = 14\)
   \((10 - 5)^2 + (14 - 2)^2 = 25 + 144 = 169\) (пересекается, точка: (10, 14))

4. \(x = 11\):
   \(y = 11^2 - 86 = 35\)
   \((11 - 5)^2 + (35 - 2)^2 = 36 + 1089 = 1125\) (не пересекается)

5. \(x = -10\):
   \(y = (-10)^2 - 86 = 14\)
   \((-10 - 5)^2 + (14 - 2)^2 = 225 + 144 = 369\) (не пересекается)

Таким образом, у нас есть одна точка пересечения окружности и параболы с целыми координатами:
\((10, 14)\)

Вы можете продолжать тестировать другие значения \(x\) для поиска дополнительных целых точек, если это необходимо.