сколько целых значений К при которых прямая y=kx не пересекает параболы y=x²+ 20x+123 и y=x²-30x+250

Чтобы определить, сколько целых значений \( k \) существует, при которых прямая \( y = kx \) не пересекает параболы \( y = x^2 + 20x + 123 \) и \( y = x^2 - 30x + 250 \), нужно проанализировать каждую параболу отдельно.

1. Для параболы \( y = x^2 + 20x + 123 \):

Форма уравнения:
\[ x^2 + 20x + (123 - kx) = 0 \]
или
\[ x^2 + (20 - k)x + 123 = 0. \]

Чтобы прямая не пересекала параболу, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть меньше нуля. Дискриминант \( D \) можно вычислить по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac, \]
где \( a = 1 \), \( b = (20 - k) \), \( c = 123 \).

Подставим значения:
\[ D = (20 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 123. \]
Теперь упростим:
\[ D = (20 - k)^2 - 492. \]

Чтобы прямая не пересекала параболу:
\[ (20 - k)^2 - 492 < 0. \]
Это эквивалентно:
\[ (20 - k)^2 < 492. \]
Теперь найдём корни:
\[ 20 - k < \sqrt{492} \quad \text{и} \quad 20 - k > -\sqrt{492}. \]

Приблизительная оценка:
\[ \sqrt{492} \approx 22.2. \]
Поэтому:
\[ 20 - k < 22.2 \quad \Rightarrow \quad k > -2.2, \]
\[ 20 - k > -22.2 \quad \Rightarrow \quad k < 42.2. \]

Таким образом, для первой параболы: \[ -2 < k < 42. \]

2. Для параболы \( y = x^2 - 30x + 250 \):

Аналогично:
\[ x^2 - 30x + (250 - kx) = 0 \]
или
\[ x^2 + (-30 - k)x + 250 = 0. \]

Дискриминант:
\[ D = (-30 - k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 250. \]
Упрощаем:
\[ D = (30 + k)^2 - 1000. \]

Для ненахождения пересечений:
\[ (30 + k)^2 - 1000 < 0. \]
То есть:
\[ (30 + k)^2 < 1000. \]
Находим корни:
\[ 30 + k < \sqrt{1000} \quad \text{и} \quad 30 + k > -\sqrt{1000}. \]

Приблизительная оценка:
\[ \sqrt{1000} \approx 31.62. \]
Поэтому:
\[ 30 + k < 31.62 \quad \Rightarrow \quad k < 1.62, \]
\[ 30 + k > -31.62 \quad \Rightarrow \quad k > -61.62. \]

Таким образом, для второй параболы: \[ -61.62 < k < 1.62. \]

Общий вывод:

Теперь нам нужно определить, сколько целых значений \( k \) существует в объединении этих двух интервалов:

1. Для первой параболы: \( -2 < k < 42 \)
2. Для второй параболы: \( -61.62 < k < 1.62 \)

Объединённый интервал:
\[ -2 < k < 1.62. \]

Целые значения \( k \) в этом интервале:
\[ -2, -1, 0, 1. \]

Всего 4 целых значения \( k \), при которых прямая не пересекает обе параболы.