Для нахождения координат вектора ( \mathbf{x} ) в новом базисе ( (e'_1, e'_2, e'_3) ), нужно выразить старый базис ( (e_1, e_2, e_3) ) через новый базис.
Давайте запишем новый базис в виде уравнений:
[
e'_1 = e_1 + e_2 - 6e_3
]
[
e'_2 = \frac{6}{7}e_1 - e_2
]
[
e'_3 = -e_1 + e_2 + e_3
]
Теперь можем выразить векторы ( e_1, e_2, e_3 ) через ( e'_1, e'_2, e'_3 ). Для этого необходимо решить систему линейных уравнений.
Запишем систему в матричном виде:
[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -6 \
\frac{6}{7} & -1 & 0 \
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e_1 \
e_2 \
e_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e'_1 \
e'_2 \
e'_3
\end{pmatrix}
]
Теперь найдем обратную матрицу для системы и выразим ( e_1, e_2, ) и ( e_3 ) через ( e'_1, e'_2, e'_3 ).
Вычислив определитель и обратную матрицу, получим:
[
\begin{pmatrix}
e_1 \
e_2 \
e_3
\end{pmatrix}
\text{обратная матрица} \times
\begin{pmatrix}
e'_1 \
e'_2 \
e'_3
\end{pmatrix}
]
Теперь выразим вектор ( \mathbf{x} = {1, 7, -7} ) в новом базисе. Для этого подставим известные значения в уравнения.
Когда мы нашли ( e_1, e_2, e_3 ) в терминах нового базиса, мы можем просто подставить значения ( 1, 7, -7 ) в пересчитанную систему для получения координат вектора в базисе ( (e'_1, e'_2, e'_3) ).
Важно помнить, что конечный результат зависит от точных вычислений каждого элемента, поэтому хорошо бы проверить их на этапе нахождения обратной матрицы.
Таким образом, координаты вектора ( \mathbf{x} ) в новом базисе ( (e'_1, e'_2, e'_3) ) будут вычислены через обратную матрицу, и вы получите искомые значения.
