Дан равносторонний треугольник A B C . ABC. Провели прямую, которая пересекла сторону треугольника A B AB в точке C 1 , C1​, сторону B C BC в точке A 1 , A1​, а продолжение…

Для решения задачи введём обозначения:

• Обозначим угол \( \angle C_1BA \) как \( x \).
• Угол \( \angle A_1BC \) также обозначим как \( y \).
• Угол \( \angle C_1AB \) обозначим как \( z \).

Согласно условиям задачи мы имеем:

\[ \angle C_1BA = x = 25^\circ, \] \[ \angle A_1BC = y = 25^\circ. \]

Теперь найдём угол \( \angle C_1AB \):

В равностороннем треугольнике \( ABC \):

\[ \angle ABC = \angle ACB = \angle BCA = 60^\circ. \]

Как зависимость между углами:

\[ z = \angle C_1AB = 60^\circ - x - y = 60^\circ - 25^\circ - 25^\circ = 10^\circ. \]

Теперь найдем угол \( \angle ACB_1 \). Угол \( \angle ACB_1 \) будет равен \( \angle C_1AB + \angle C_1AC \).

Для точки \( B_1 \) в продолжении \( AC \) есть:

\[ \angle ACB_1 = z + \angle C_1AC = 10^\circ + 60^\circ = 70^\circ. \]

Следовательно, мы имеем:

\[ \angle ACB_1 = 70^\circ. \]

С углами в треугольнике можно найти, что:

\[ \angle CBA_1 + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ, \]

где \( \angle CBA_1 \) равно \( 60^\circ + 25^\circ = 85^\circ \).

Таким образом, мы можем провести следующие шаги для определения сторон. Важно помнить, что \( C_1 \) и \( A_1 \) действуют как треугольные углы в соответствующих меньших треугольниках.

Теперь найдём значение \( \angle ACB_1 \):

Это финальная величина, которая равна:

\[ \angle CBA + \angle BCA = 85^\circ + 60^\circ = 145^\circ. \]

По всем проведённым вычислениям и через свойства треугольников:

Значение угла \( \angle ACB_1 = \angle ACB + \angle C_1AB + \angle BAC = 70^\circ + 10^\circ + 25^\circ = 105^\circ. \)

Этого значения будет недостаточно, и следует учитывать равносторонность треугольника для конечного подсчета:

Таким образом,

\[ \angle C_1ACB_1 = 70^\circ. \]

Финальный ответ:

\[ \angle ACB_1 = 70^\circ. \]