4/x ≤ 4-x при промежуткет [-6;6]

Чтобы решить неравенство \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \) на промежутке \([-6; 6]\), начнем с преобразования уравнения.

1. Приведем все членам неравенства к единому знаменателю. Умножим обе стороны на \(x\) (при условии, что \(x \neq 0\)): \[ 4 \leq (4 - x)x \]

2. Раскроем скобки: \[ 4 \leq 4x - x^2 \]

3. Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 - 4x + 4 \leq 0 \]

4. Заметим, что это квадратное неравенство. Его можно переписать в виде: \[ (x - 2)^2 \leq 0 \]

5. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицательный, и он равен нулю, только если \(x - 2 = 0\). Следовательно, \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2. \]

Это решение нужно проверить на промежутке \([-6; 6]\). Заметим, что \(x = 2\) находится внутри данного промежутка.

6. Теперь необходимо проверить границы, чтобы убедиться, что нет других решений в этом интервале. Исследуем знаки при \(x = -6\) и \(x = 6\):

   • При \(x = -6\): \[ \frac{4}{-6} \leq 4 - (-6) \Rightarrow -\frac{2}{3} \leq 10 \quad (истина) \]

   • При \(x = 6\): \[ \frac{4}{6} \leq 4 - 6 \Rightarrow \frac{2}{3} \leq -2 \quad (ложь) \]

Таким образом, неравенство выполняется на промежутке \([-6, 2]\) включительно.

Ответ: \(x \in [-6; 2]\).