Решите неравенство 4/x ≤ 4-x . В ответ запишите сумму целых решений неравенства, принадлежащих промежутку [-6;6.]
Решим неравенство \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \).
- Сначала приведем неравенство к общему знаменателю. Умножим обе стороны на \( x \) (и учитываем, что при умножении на \( x \) знак неравенства может измениться, поэтому будем рассматривать случаи \( x > 0 \) и \( x < 0 \) отдельно):
\( 4 \leq (4 - x) x \).
Раскроем скобки:
\( 4 \leq 4x - x^2 \).
Переносим все в одну сторону:
\( x^2 - 4x + 4 \leq 0 \).
- Это неравенство можно представить в виде:
\( (x - 2)^2 \leq 0 \).
Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, данное неравенство выполняется только при \( (x - 2)^2 = 0 \), что означает:
\( x - 2 = 0 \) или \( x = 2 \).
Теперь рассмотрим область определения исходного неравенства. Мы должны исключить \( x = 0 \), так как деление на ноль не определено.
Теперь проанализируем, при каких значениях \( x \) неравенство верно. Мы нашли, что единственным решением является \( x = 2 \). Проверим его:
\( \frac{4}{2} \leq 4 - 2 \) → \( 2 \leq 2 \), что верно.
- Теперь определим, находятся ли решения в заданном промежутке \( [-6; 6] \). Поскольку \( 2 \) находится в этом промежутке, то оно является единственным целым решением.
Таким образом, сумма целых решений неравенства, принадлежащих промежутку \( [-6; 6] \), равна:
\( 2 \).
Ответ: 2.
