Решите в натуральных числах уравнение m² = 55+ n². В ответ запишите сумму полученных значений т.

Для решения уравнения \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, начнем с преобразования уравнения:

\[ m^2 - n^2 = 55 \]

Это уравнение можно представить в виде разности квадратов:

\[ (m - n)(m + n) = 55 \]

Теперь определим все пары множителей числа 55. Поскольку \( 55 = 1 \times 55 \) и \( 5 \times 11 \), мы получаем следующие пары:

1. \( (1, 55) \)
2. \( (5, 11) \)

Теперь решим систему уравнений для каждой из этих пар, где \( a = m - n \) и \( b = m + n \).

1. Для пары \( (1, 55) \):

\[ m - n = 1 \quad (1) \\ m + n = 55 \quad (2) \]

Сложим уравнения (1) и (2): \[ (m - n) + (m + n) = 1 + 55 \\ 2m = 56 \\ m = 28 \]

Теперь подставим \( m \) в (1): \[ 28 - n = 1 \\ n = 27 \]

2. Для пары \( (5, 11) \):

\[ m - n = 5 \quad (1) \\ m + n = 11 \quad (2) \]

Сложим уравнения (1) и (2): \[ (m - n) + (m + n) = 5 + 11 \\ 2m = 16 \\ m = 8 \]

Теперь подставим \( m \) в (1): \[ 8 - n = 5 \\ n = 3 \]

Теперь мы нашли все натуральные пары \( (m, n) \):

1. \( (28, 27) \)
2. \( (8, 3) \)

Чтобы найти сумму всех значений \( m \): \[ 28 + 8 = 36 \]

Таким образом, сумма полученных значений \( m \) равна 36.