Решите в натуральных числах уравнение m? = 55 + п?. В ответ запишите сумму полученных значений M.

Для решения уравнения \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, перепишем его в удобной форме:

\[ m^2 - n^2 = 55 \]

Эта разность квадратов может быть представлена как:

\[ (m - n)(m + n) = 55 \]

Теперь определим пары множителей для 55:

1. \( 1 \times 55 \)
2. \( 5 \times 11 \)

Теперь рассмотрим каждую пару.

Пара 1: \( m - n = 1 \) и \( m + n = 55 \)

Решим систему уравнений:

1. \( m - n = 1 \)
2. \( m + n = 55 \)

Сложим эти два уравнения:

\[ (m - n) + (m + n) = 1 + 55 \implies 2m = 56 \implies m = 28 \]

Теперь подставим значение \( m \) в одно из уравнений, чтобы найти \( n \):

\[ 28 - n = 1 \implies n = 27 \]

Пара 2: \( m - n = 5 \) и \( m + n = 11 \)

Снова решим систему уравнений:

1. \( m - n = 5 \)
2. \( m + n = 11 \)

Сложим эти два уравнения:

\[ (m - n) + (m + n) = 5 + 11 \implies 2m = 16 \implies m = 8 \]

Теперь подставим значение \( m \) в одно из уравнений, чтобы найти \( n \):

\[ 8 - n = 5 \implies n = 3 \]

Полученные натуральные числа

Мы нашли два решения:

1. \( (m, n) = (28, 27) \)
2. \( (m, n) = (8, 3) \)

Теперь найдем \( S = m_1 + m_2 = 28 + 8 = 36 \).

Ответ:

\[ \boxed{36} \]