3x/2x+9<0

Чтобы решить неравенство \( \frac{3x}{2x + 9} < 0 \), следуем этим шагам:

1. Определим, где дробь отрицательна. Дробь \( \frac{3x}{2x + 9} \) будет отрицательной, если числитель и знаменатель имеют разные знаки.

2. Анализируем числитель \( 3x \):

   • \( 3x < 0 \) тогда и только тогда, когда \( x < 0 \).

3. Анализируем знаменатель \( 2x + 9 \):

   • \( 2x + 9 = 0 \)
   • \( 2x = -9 \)
   • \( x = -\frac{9}{2} \) или \( x = -4.5 \).
   • \( 2x + 9 < 0 \) тогда, когда \( x < -4.5 \).
   • \( 2x + 9 > 0 \) тогда, когда \( x > -4.5 \).

4. Составим интервалы: Мы посмотрим на интервал \( (-\infty, -4.5) \) и \( (-4.5, 0) \):

   • В интервале \( (-\infty, -4.5) \):

     • Числитель \( 3x < 0 \) (так как \( x < 0 \)).
     • Знаменатель \( 2x + 9 < 0 \) (так как \( x < -4.5 \)).
     • В этом интервале дробь положительна.

   • В интервале \( (-4.5, 0) \):

     • Числитель \( 3x < 0 \) (так как \( x < 0 \)).
     • Знаменатель \( 2x + 9 > 0 \) (так как \( x > -4.5 \)).
     • В этом интервале дробь отрицательна.

5. Изучаем пределы:

   • При \( x = -4.5 \), дробь равна нулю.
   • При \( x = 0 \), дробь также равна нулю.

6. Итог: Мы ищем, где дробь меньше нуля. Это происходит в интервале \( (-4.5, 0) \).

Таким образом, окончательный ответ на неравенство \( \frac{3x}{2x + 9} < 0 \): \[ x \in \left(-\frac{9}{2}, 0\right) \]