В школе прошла игра «Выборы президента». На пост президента выдвинули свои кандидатуры четыре ученика старших классов. Избирательная комиссия сообщила итоги голосования. Кандидаты Максим и Андрей вместе набрали 42% голосов избирателей, причём Андрей набрал в пять раз больше голосов, чем Максим. Голоса, которые набрали Иван и Лиза, распределились в отношении 1б:1З. Андрей набрал на 48 голосов больше, чем Иван. Сколько голосов набрал победитель выборов?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Обозначим количество голосов, которые набрал Максим, как \( x \). Тогда, согласно условию, количество голосов, которые набрал Андрей, можно выразить как \( 5x \) (поскольку Андрей набрал в пять раз больше, чем Максим).
Сумма голосов Максима и Андрея составляет 42% от общего числа голосов. Это можно записать так:
\[ x + 5x = 6x \]
Теперь определим общее количество голосов. Пусть общее число голосов избирателей равно \( S \). Тогда:
\[ 6x = 0.42S \quad (1) \]
Теперь найдем количество голосов, которые набрали Иван и Лиза. Пусть количество голосов Ивана будет \( y \), тогда количество голосов Лизы будет \( z = \frac{6}{13}y \) (в соответствии с соотношением 16:13, предположим, множество голосов, полученных Иваном, равным 16 частям, тогда Лиза получит 13 частей).
Количество всех голосов можно также выразить через Ивана и Лизу:
\[ y + z = y + \frac{6}{13}y = \frac{19}{13}y \quad (2) \]
Теперь с учетом того, что сумма голосов всех кандидатов равна общему количеству голосов:
\[ 6x + y + z = S \]
Подставим выражение из (2):
\[ 6x + \frac{19}{13}y = S \quad (3) \]
Также из условия задачи мы знаем, что Андрей набрал на 48 голосов больше, чем Иван:
\[ 5x = y + 48 \quad (4) \]
Теперь у нас есть система уравнений.
Подстановим (4) в (3):
Из (4) выразим \( y \): \[ y = 5x - 48 \]
Подставим в (3): \[ 6x + \frac{19}{13}(5x - 48) = S \]
Умножим на 13 для удобства: \[ 78x + 19(5x - 48) = 13S \] \[ 78x + 95x - 912 = 13S \] \[ 173x - 912 = 13S \quad (5) \]
Теперь по (1) выразим \( S \): \[ S = \frac{6x}{0.42} = \frac{100x}{7} \quad (6) \]
Теперь подставим (6) в (5): \[ 173x - 912 = 13 \cdot \frac{100x}{7} \] \[ 173x - 912 = \frac{1300x}{7} \]
Умножим все на 7: \[ 1211x - 6384 = 1300x \] \[ 1300x - 1211x = 6384 \] \[ 89x = 6384 \] \[ x = \frac{6384}{89} = 72 \]
Теперь найдём количество голосов Максима и Андрея:
- Голосов Максима \( x = 72 \).
- Голосов Андрея \( 5x = 5 \cdot 72 = 360 \).
Теперь найдем количество голосов Ивана: \[ y = 5x - 48 = 360 - 48 = 312 \]
Теперь найдем количество голосов Лизы: \[ z = \frac{6}{13}(312) = 144 \]
Теперь составим общее число: \[ S = 72 + 360 + 312 + 144 = 888 \]
Таким образом, победитель выборов — Андрей, который набрал 360 голосов.
