В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите периметр треугольника ABM, если медиана AM равена 5,4 см, а периметр треугольника ABC равен 26 см.

Давайте обозначим стороны равнобедренного треугольника ABC таким образом: \( AB = AC = a \), и \( BC = b \). Поскольку AM — это медиана, то она делит сторону BC пополам, и длина BM равна \( \frac{b}{2} \).

Периметр треугольника ABC равен:

\[ 2a + b = 26 \text{ см} \]

Запишем длину медианы для треугольника ABC:

\[ AM^2 = \frac{2a^2 + 2\left(\frac{b}{2}\right)^2 - b^2}{4} \]

Подставим \( AM = 5.4 \text{ см} \):

\[ 5.4^2 = \frac{2a^2 + 2\left(\frac{b}{2}\right)^2 - b^2}{4} \]

Посчитаем \( 5.4^2 = 29.16 \):

\[ 29.16 = \frac{2a^2 + 2\left(\frac{b^2}{4}\right) - b^2}{4} \]

Упрощаем формулу:

\[ 29.16 \cdot 4 = 2a^2 + \frac{b^2}{2} - b^2 \]

\[ 116.64 = 2a^2 - \frac{b^2}{2} \]

Теперь выразим \( b \) через \( a \) из уравнения периметра:

\[ b = 26 - 2a \]

Подставляем это значение в уравнение медианы:

\[ 116.64 = 2a^2 - \frac{(26 - 2a)^2}{2} \]

Теперь решим это уравнение.

Сначала выразим \( (26 - 2a)^2 \):

\[ (26 - 2a)^2 = 676 - 104a + 4a^2 \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ 116.64 = 2a^2 - \frac{676 - 104a + 4a^2}{2} \]

Упрощаем:

\[ 116.64 = 2a^2 - 338 + 52a - 2a^2 \]

Сокращаем \( 2a^2 \):

\[ 116.64 + 338 = 52a \]

\[ 454.64 = 52a \]

Теперь находим \( a \):

\[ a = \frac{454.64}{52} \approx 8.74 \text{ см} \]

Теперь находим \( b \):

\[ b = 26 - 2a \approx 26 - 2 \cdot 8.74 \approx 26 - 17.48 \approx 8.52 \text{ см} \]

Теперь мы можем найти периметр треугольника ABM:

\[ П_{ABM} = AB + AM + BM = a + AM + \frac{b}{2} \]

Подставляем известные значения:

\[ П_{ABM} \approx 8.74 + 5.4 + \frac{8.52}{2} \approx 8.74 + 5.4 + 4.26 \approx 18.4 \text{ см} \]

Таким образом, периметр треугольника ABM составляет примерно 18.4 см.