Вычислить предел числовой последовательности

Для вычисления предела последовательности, давай разберёмся с выражением:

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{n^{5/2} - \sqrt{27n^6 + n^2}}{(n + \sqrt[4]{n})\sqrt{9 + n^2}} \]

1. Упростим числитель:

   Рассмотрим \( n^{5/2} - \sqrt{27n^6 + n^2} \).

   Если вынести \( n^3 \) из подкорня в знаменателе второго слагаемого, получим: \[ \sqrt{27n^6 + n^2} \approx \sqrt{n^6(27 + \frac{1}{n^4})} = n^3\sqrt{27 + \frac{1}{n^4}} \]

   При \( n \to \infty \), \(\sqrt{27 + \frac{1}{n^4}} \to \sqrt{27} = 3\), значит: \[ \sqrt{27n^6 + n^2} \approx 3n^3 \]

2. Упростим знаменатель:

   В выражении \( (n + \sqrt[4]{n})\sqrt{9 + n^2} \), заметим, что: \[ \sqrt{9 + n^2} \approx \sqrt{n^2(1 + \frac{9}{n^2})} = n\sqrt{1 + \frac{9}{n^2}} \to n \]

   При больших n, это приближенно равно \( n \).

   Таким образом: \[ (n + \sqrt[4]{n})\sqrt{9 + n^2} \approx n \times n = n^2 \]

3. Найдём предел:

   Подставляя упрощенные выражения в предел:

   \[ \frac{n^{5/2} - 3n^3}{n^2} = \frac{n^{5/2}}{n^2} - \frac{3n^3}{n^2} = n^{1/2} - 3n \]

   Разделим это на n: \[ \frac{n^{1/2} - 3n}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} - 3 \]

   Как \( n \to \infty \), \(\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0\), и получается:

   \[ \lim_{{n \to \infty}} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - 3 \right) = -3 \]

Итак, предел последовательности равен \(-3\).