построй график функции. 2x²+6x+3,x> либо равно -2 x+2,x< -2 и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Для построения графика функции, заданной кусочно, сначала необходимо выделить два участка:
- Для \( x \geq -2 \): функция задается как \( y = 2x^2 + 6x + 3 \).
- Для \( x < -2 \): функция задается как \( y = x + 2 \).
Шаг 1: Построение графика первой части функции
Для функции \( y = 2x^2 + 6x + 3 \) начнем с нахождения вершины параболы и корней.
Вершина параболы
Формула для нахождения абсциссы вершины параболы (которая имеет вид \( ax^2 + bx + c \)):
\[ x_{в} = -\frac{b}{2a} \]
Здесь \( a = 2 \) и \( b = 6 \).
\[ x_{в} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]
Теперь найдем значение функции в этой точке:
\[ y_{в} = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 = 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 + 3 = \frac{18}{4} - 9 + 3 = \frac{18}{4} - \frac{36}{4} + \frac{12}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]
Вершина параболы находится в точке \((-1.5, -1.5)\).
Корни параболы
Находим корни уравнения \( 2x^2 + 6x + 3 = 0 \) с использованием дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12 \] Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два корня:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2} \]
Шаг 2: Построение графика второй части функции
Для функции \( y = x + 2 \) просто проведем прямую, которая пересекает ось Y в точке (0, 2).
Шаг 3: Построение графика
Теперь мы можем построить обе части:
- Парабола, начиная с точки \((-2, 3)\) (значение функции в данной точке) и continuing up through the vertex at \((-1.5, -1.5)\).
- Прямая \( y = x + 2 \), начиная с \( (0, 2) \) и наклоняясь вниз.
Шаг 4: Определение значений \( m \)
Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки с графиком, она должна пересекаться лишь с одной из ветвей одного из кусков:
- Прямая \( y = m \) может пересекать параболу в двух точках. Это происходит, когда \( m \) меньше максимального значения пары, которое находится в её вершине (-1.5). То есть условие:
\[ m < -1.5 \]
- Прямая \( y = m \) не должна пересекать прямую на отрезке, что происходит в случае, если \( m = 2 \) (выше или ниже, но не пересекается).
Таким образом, ответ: прямая \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках, если:
\[ m < -1.5 \quad \text{или} \quad m > 2 \]
Теперь у вас есть полное представление о том, как построить график и решить поставленную задачу. Успеха в учёбе!
