Вычислите предел в ответе укажите a
Привет! Давай разберёмся с этой задачей.
Тебе нужно найти предел выражения:
\[ \lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{2n+3}{2n-1}\right)^{n+1} \]
Итак, шаг за шагом:
Сначала упростим выражение внутри скобок:
\[ \frac{2n+3}{2n-1} \]
Делим числитель и знаменатель на \(n\):
\[ \frac{2 + \frac{3}{n}}{2 - \frac{1}{n}} \]
При \(n \to \infty\) дробные части \(\frac{3}{n}\) и \(\frac{1}{n}\) стремятся к 0. Поэтому выражение приближается к:
\[ \frac{2}{2} = 1 \]
Теперь используем формулу для предела типа \((1 + f(n))^n\), где \(f(n) \to 0\).
Если \(f(n) = \frac{1}{n^a}\), при \(n \to \infty\), предел такого выражения стремится к \(e^c\),
где \(c = \lim_{{n \to \infty}} (n+1) \times \left(\frac{2n+3}{2n-1} - 1\right)\).
Выразим \(c\):
\[ \frac{2n+3}{2n-1} - 1 = \frac{(2n+3) - (2n-1)}{2n-1} = \frac{4}{2n-1} \]
Следовательно, \(c = \lim_{{n \to \infty}} (n+1) \times \frac{4}{2n-1}\).
Так как при \(n \to \infty\), это стремится к \(2\).
Таким образом, для данной задачи \(a = 2\). Твой ответ: \(a = 2\).
