(а+b+c+d)² меньше или равно 4(а²+b²+c²+d²) доказать неравенство

Чтобы доказать неравенство \((a + b + c + d)^2 \leq 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)\), мы можем использовать неравенство Коши-Шварца.

Рассмотрим \(x_1 = a\), \(x_2 = b\), \(x_3 = c\), \(x_4 = d\) и \(y_1 = y_2 = y_3 = y_4 = 1\). Применяя неравенство Коши-Шварца, получаем:

\[ (a + b + c + d)^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2) \]

Считаем сумму \(1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 4\). Таким образом, неравенство становится:

\[ (a + b + c + d)^2 \leq 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \]

Это именно то, что нам нужно было доказать.

Таким образом, неравенство верно для любых действительных чисел \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\).