Q

Привет! Давай разберём это уравнение вместе.

У нас есть предел, который нужно вычислить: \[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{n \sqrt{n} - \sqrt[3]{-27n^6 + n^5}}{\left(n + \sqrt[3]{n}\right)\sqrt{4 + n^2}} \]

1. Асимптотическое поведение выражений:

   • В числителе: \(n \sqrt{n}\) ведёт себя как \(n^{3/2}\), а \(\sqrt[3]{-27n^6 + n^5}\) ведёт себя как \(-3n^2\) (так как кубический корень до второго члена разложения \(n^6\)).
   • В знаменателе: \(n + \sqrt[3]{n}\) приблизительно равно \(n\), а \(\sqrt{4 + n^2}\) примерно как \(n\).

2. Упрощение с использованием доминирующих членов:

   • Числитель: основное слагаемое будет \(n^{3/2} - (-3n^2) = 3n^2 - n^{3/2}\).
   • Знаменатель: основное слагаемое будет \(n \cdot n = n^2\).

3. Вычисление предела:

   • Сократим числитель и знаменатель на \(n^{3/2}\) (как наименьший общий доминантный член):
     • Получаем выражение \( \lim_{{n \to \infty}} \frac{3n^{1/2} - 1}{n^{1/2}} \).
   • Это упрощается до \( \lim_{{n \to \infty}} \left( 3 - \frac{1}{n^{1/2}} \right) \).

4. Заключение:

   • Когда \( n \) стремится к бесконечности, \(\frac{1}{n^{1/2}}\) стремится к 0, следовательно, предел равен 3.

Таким образом, ответ: 3. Если остались вопросы, спрашивай, буду рад помочь!