Q

Привет! Давай разберёмся с этой задачей.

У нас есть предел:

\[ \lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1} \right) \]

Сначала попробуем упростить выражение под корнем. Для этого умножим и разделим выражение на сопряжённое:

\[ \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1} \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1}}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1}} \]

Это превращается в:

\[ \frac{(\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1})(\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1})}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1}} \]

Числитель \( (\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1})(\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1}) \) можно упростить до \( (n^2 + 1) - (n^2 - 1) = 2 \).

Теперь предел будет выглядеть так:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1}} \]

При \( n \) стремящемся к бесконечности, в знаменателе оба корня будут приблизительно равны \( n \), так что:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n} = 1 \]

Итак, ответ: 1.