Q

Привет! Давай разберёмся с этим пределом.

У нас есть выражение:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n\sqrt{n} - \sqrt[3]{27n^6} + n^5}{n + \sqrt[3]{n} \cdot \sqrt{4 + n^2}} \]

Первым делом, рассмотрим только главные слагаемые в числителе и знаменателе, так как при \(n\) стремящемся к бесконечности они будут оказывать наибольшее влияние.

1. Числитель: \(n\sqrt{n}\) и \(n^5\).

   • \(n\sqrt{n}\) это \(n^{1 + 1/2} = n^{3/2}\)
   • \(n^5\) остается \(n^5\)

2. Знаменатель: \(n\) и \(\sqrt[3]{n} \cdot \sqrt{n^2}\).

   • \(\sqrt[3]{n} \cdot \sqrt{n^2}\) это \(n^{1/3} \cdot n^{1} = n^{4/3}\)

Так как \(n^5\) (из числителя) и \(n\) (из знаменателя) имеют наибольшие степени, выделяем \(n^5\) во всём выражении:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^5 \left(\frac{n\sqrt{n}}{n^5} - \frac{\sqrt[3]{27n^6}}{n^5} + 1 \right)}{n \left(1 + \frac{\sqrt[3]{n} \cdot \sqrt{4 + n^2}}{n}\right)} \]

Этот предел при \(n \to \infty\) сводится к упрощению дробей.

Таким образом:

• Числитель \( \approx n^5\)
• Знаменатель \( \approx n \)

Итак, предел равен:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^5}{n} = \lim_{n \to \infty} n^4 \]

Поскольку предел \(n^4\) стремится к бесконечности при \(n \to \infty\), ответ равен \(\infty\).

Надеюсь, это помогло разобраться! Если есть вопросы, спрашивай!