Вычислить

Привет! Давай разберемся с этой задачей. Нужно найти предел при \( n \) стремящемся к бесконечности от выражения:

\[ \frac{4 + 8 + 12 + \ldots + 4n}{n^2 + n + 15} \]

Это арифметическая прогрессия, где первый член 4 и разница тоже 4. Количество членов — \( n \).

Сначала найдем сумму прогрессии \( 4 + 8 + 12 + \ldots + 4n \).

Сумма арифметической прогрессии:

\[ S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \]

где \( a_1 = 4 \), \( a_n = 4n \).

\[ S = \frac{n}{2} \times (4 + 4n) = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n \]

Теперь подставим в выражение:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 2n}{n^2 + n + 15} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2(1 + \frac{1}{n})}{n^2(1 + \frac{1}{n} + \frac{15}{n^2})} \]

Сокращаем:

\[ = \lim_{n \to \infty} \frac{2(1 + \frac{1}{n})}{1 + \frac{1}{n} + \frac{15}{n^2}} \]

При \( n \to \infty \) дробные части стремятся к нулю:

\[ = \frac{2(1 + 0)}{1 + 0 + 0} = 2 \]

Ответ: предел равен 2.