Задача Задача №2380082
А
А
Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Дисперсия какого набора больше? а) 2, 3, 7 и 1, 2, 3; б) 2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8.
Для решения этой задачи начнем с визуализации чисел на числовой прямой и затем вычислим дисперсию для каждого набора.
Часть а:
Набор 1: \(2, 3, 7\)
Набор 2: \(1, 2, 3\)
Числовая прямая:
1 --- 2 --- 3 --- 4 --- 5 --- 6 --- 7 --- 8
Набор 1 отмечен на числовой прямой:
2 3 7
1---2---3---4---5---6---7---8
Набор 2 отмечен на числовой прямой:
1 2 3
1---2---3---4---5---6---7---8
Вычисление дисперсии:
- Формула дисперсии: \( D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 \)
- Где \( \mu \) - среднее арифметическое.
Для набора 1:
- Среднее: \( \mu_1 = \frac{2 + 3 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4 \)
- Дисперсия: \[ D_1 = \frac{1}{3} \left((2 - 4)^2 + (3 - 4)^2 + (7 - 4)^2\right) = \frac{1}{3} (4 + 1 + 9) = \frac{14}{3} \approx 4.67 \]
Для набора 2:
- Среднее: \( \mu_2 = \frac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \)
- Дисперсия: \[ D_2 = \frac{1}{3} \left((1 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 2)^2\right) = \frac{1}{3} (1 + 0 + 1) = \frac{2}{3} \approx 0.67 \]
Сравнение: \( D_1 \approx 4.67 > D_2 \approx 0.67 \)
Часть б:
Набор 1: \(2, 3, 4, 7\)
Набор 2: \(1, 5, 6, 8\)
Числовая прямая:
1 --- 2 --- 3 --- 4 --- 5 --- 6 --- 7 --- 8
Набор 1 отмечен на числовой прямой:
2 3 4 7
1---2---3---4---5---6---7---8
Набор 2 отмечен на числовой прямой:
1 5 6 8
1---2---3---4---5---6---7---8
Вычисление дисперсии:
Для набора 1:
- Среднее: \( \mu_1 = \frac{2 + 3 + 4 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)
- Дисперсия: \[ D_1 = \frac{1}{4} \left((2 - 4)^2 + (3 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (7 - 4)^2\right) = \frac{1}{4} (4 + 1 + 0 + 9) = \frac{14}{4} = 3.5 \]
Для набора 2:
- Среднее: \( \mu_2 = \frac{1 + 5 + 6 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5 \)
- Дисперсия: \[ D_2 = \frac{1}{4} \left((1 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (6 - 5)^2 + (8 - 5)^2\right) = \frac{1}{4} (16 + 0 + 1 + 9) = \frac{26}{4} = 6.5 \]
Сравнение: \( D_1 = 3.5 < D_2 = 6.5 \)
Итоги:
а) Дисперсия набора 1 больше.
б) Дисперсия набора 2 больше.
