Даны два конуса. Найдите объём второго конуса, если известно, что объём первого конуса равен 80, а площадь основания и высоты в 3/2 раза больше площади основания и высоты первого конуса соответственно.
Чтобы найти объем второго конуса, начнем с формулы для объема конуса:
\[ V = \frac{1}{3} S h, \]
где \( V \) — объем конуса, \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота.
Дано, что объем первого конуса \( V_1 = 80 \). Площадь основания и высота второго конуса в \( \frac{3}{2} \) раза больше, чем у первого.
Обозначим:
- Площадь основания первого конуса как \( S_1 \),
- Высоту первого конуса как \( h_1 \).
Тогда площадь основания и высота второго конуса будут равны:
- Площадь основания второго конуса \( S_2 = \frac{3}{2} S_1 \),
- Высота второго конуса \( h_2 = \frac{3}{2} h_1 \).
Теперь подставим эти значения в формулу для объема второго конуса:
\[ V_2 = \frac{1}{3} S_2 h_2 = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{2} S_1 \right) \left( \frac{3}{2} h_1 \right). \]
Упростим выражение:
\[ V_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot S_1 h_1. \]
Теперь посчитаем коэффициент:
\[ V_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot S_1 h_1 = \frac{9}{12} S_1 h_1 = \frac{3}{4} S_1 h_1. \]
Заметим, что объем первого конуса:
\[ V_1 = \frac{1}{3} S_1 h_1. \]
Исходя из этого, можно выразить:
\[ S_1 h_1 = 3 V_1. \]
Подставим значение объема первого конуса:
\[ S_1 h_1 = 3 \cdot 80 = 240. \]
Теперь подставим значение \( S_1 h_1 \) в формулу для объема второго конуса:
\[ V_2 = \frac{3}{4} \cdot 240 = 180. \]
Таким образом, объем второго конуса равен 180.
