Решить 1/((x + y) ^ 2) - 2/(x ^ 2 - y ^ 2) + 1/((x - y) ^ 2)
Для решения выражения
\[ \frac{1}{(x + y)^2} - \frac{2}{x^2 - y^2} + \frac{1}{(x - y)^2} \]
сначала упростим его, обратив внимание на все дроби и пытаясь привести к общему знаменателю.
Обозначим знаменатели:
- \( (x + y)^2 \)
- \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \) — это разность квадратов.
- \( (x - y)^2 \)
Общий знаменатель: Общий знаменатель будет равен \( (x + y)^2 (x - y)^2 \).
Перепишем каждую дробь с общим знаменателем:
Для первой дроби: \[ \frac{1}{(x + y)^2} = \frac{(x - y)^2}{(x + y)^2 (x - y)^2} \]
Для второй дроби: \[ \frac{-2}{x^2 - y^2} = \frac{-2}{(x - y)(x + y)} = \frac{-2(x - y)}{(x + y)^2 (x - y)^2} \]
Для третьей дроби: \[ \frac{1}{(x - y)^2} = \frac{(x + y)^2}{(x + y)^2 (x - y)^2} \]
Соберем всё вместе: Теперь мы можем записать всё выражение с общим знаменателем:
\[ \frac{(x - y)^2 - 2(x - y) + (x + y)^2}{(x + y)^2 (x - y)^2} \]
Упростим числитель: Посчитаем числитель:
\[ (x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y) = (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2) - 2(x - y) \] \[ = 2x^2 + 2y^2 - 2x + 2y \] \[ = 2(x^2 + y^2 - x + y) \]
Запишем окончательный ответ: Таким образом, итоговое выражение будет:
\[ \frac{2(x^2 + y^2 - x + y)}{(x + y)^2 (x - y)^2} \]
Это и есть упрощенное выражение. Если у тебя есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другой темой, не стесняйся спрашивать!
