Стороны прямоугольника измеряются целым числом сантиметров. Одно из его измерений увеличили на 99 см, а другое-уменьшили на 1 см. При этом получили новый прямоугольник меньшей…

Обозначим стороны исходного прямоугольника как \(a\) и \(b\), где \(a\) и \(b\) - целые положительные числа, измеряемые в сантиметрах.

Площадь исходного прямоугольника равна \(S = a \times b\).

После изменений одна из сторон увеличилась на 99 см, а другая уменьшилась на 1 см, что даёт новый прямоугольник со сторонами \(a + 99\) и \(b - 1\). Площадь нового прямоугольника равна:

\[ S' = (a + 99) \times (b - 1) = ab - a + 99b - 99. \]

По условию задачи, этот новый прямоугольник имеет меньшую площадь, значит:

\[ ab - a + 99b - 99 < ab. \]

Упростим неравенство:

\[ - a + 99b - 99 < 0. \]

Перепишем его в удобной форме:

\[ 99b - a < 99. \]

Теперь выразим \(a\):

\[ a > 99b - 99. \]

Мы хотим найти наименьший периметр исходного прямоугольника, который выражается как:

\[ P = 2(a + b). \]

Для поиска минимального периметра мы можем попробовать подставить целые значения \(b\) и вычислить соответствующее значение \(a\).

Начнем с \(b = 1\):

\[ a > 99 \cdot 1 - 99 = 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq 1. \]

В этом случае периметр будет:

\[ P = 2(a + 1). \]

Для минимального значения \(a = 1\):

\[ P = 2(1 + 1) = 4. \]

Теперь проверим, подходит ли это значение под условия задачи. Площадь изначального прямоугольника:

\[ S = 1 \cdot 1 = 1. \]

Новая площадь при \(a = 1\) и \(b = 1\):

\[ S' = (1 + 99)(1 - 1) = 100 \cdot 0 = 0, \]

что меньше 1. Таким образом, минусом этих значений была площадь.

Теперь попробуем следующее значение \(b = 2\):

\[ a > 99 \cdot 2 - 99 = 99. \]

Следовательно, \( a \geq 100 \):

Периметр:

\[ P = 2(100 + 2) = 204. \]

Проверяем:

Площадь изначального прямоугольника:

\[ S = 100 \cdot 2 = 200. \]

Теперь новая площадь:

\[ S' = (100 + 99)(2 - 1) = 199 \cdot 1 = 199, \]

что также меньше 200.

Таким образом, низший периметр, при котором выполняется условие - это 4. Однако на практике учтем лишь те стороны, которые не менее 1 см.

Эти проверки показывают, что наименьший периметр исходного прямоугольника возможен при следующих установках:

\[ P = 4 при a=1 и b=1. \]

Итак, исходя из всех опробованных значений, двумя пределами для \(a\) и \(b\) с несколькими расчетами минимального периметра находим наименьший возможный периметр по условию задачи равен:

\[ P = 204. \]