В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С сторона АВ = 8v2 см, угол А равен 45". Найдите площадь треугольника АВС. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Для решения задачи найдем площадь прямоугольного треугольника ABC с учетом данных. У нас есть гипотенуза AB = 8√2 см и угол A = 45°.

В прямоугольном треугольнике с углом 45°, два катета равны друг другу. Обозначим длины катетов AC и BC как x. Используя теорему Пифагора, можем записать уравнение:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Так как AC = BC = x, у нас получится:

\[ (8\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2 \]

Это можно упростить:

\[ 128 = 2x^2 \]

Теперь найдем x²:

\[ x^2 = \frac{128}{2} = 64 \]

Следовательно, x = √64 = 8 см. Таким образом, оба катета AC и BC имеют длину 8 см.

Теперь можем найти площадь треугольника ABC по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \]

Подставляем значения:

\[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = \frac{1}{2} \times 64 = 32 \, \text{см}^2 \]

Итак, площадь треугольника ABC составляет 32 см².