Решите в натуральных числах уравнение m²=55+n².В ответ запишите сумму полученных значений m.

Давайте рассмотрим уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \). Мы можем переписать его в форме:

\[ m^2 - n^2 = 55. \]

Это уравнение можно представить как разность квадратов:

\[ (m-n)(m+n) = 55. \]

Значения \( m - n \) и \( m + n \) должны быть натуральными числами. Теперь найдем все пары делителей числа 55:

1. \( 1 \times 55 \)
2. \( 5 \times 11 \)

Рассмотрим каждую пару делителей.

1. Пара \( (1, 55) \):

\[ m - n = 1, \] \[ m + n = 55. \]

Решаем эти два уравнения:

• Сложим уравнения: \[ (m - n) + (m + n) = 1 + 55 \] \[ 2m = 56 \Rightarrow m = 28. \]

• Найдем \( n \): \[ 28 - n = 1 \Rightarrow n = 27. \]

2. Пара \( (5, 11) \):

\[ m - n = 5, \] \[ m + n = 11. \]

Решаем:

• Сложим уравнения: \[ (m - n) + (m + n) = 5 + 11 \] \[ 2m = 16 \Rightarrow m = 8. \]

• Найдем \( n \): \[ 8 - n = 5 \Rightarrow n = 3. \]

Теперь у нас есть два решения для \( m \):

1. \( m = 28 \) при \( n = 27 \)
2. \( m = 8 \) при \( n = 3 \)

Теперь сложим полученные значения \( m \): \[ 28 + 8 = 36. \]

Таким образом, сумма полученных значений \( m \) составляет 36.