Решите уравнение х2 у2 - 2х 6у = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х - Зу.
Для решения уравнения \( x^2 y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах начнем с того, что у нас есть переменные \( x \) и \( y \). Первым шагом упростим уравнение, чтобы выявить зависимости между числами.
Можно выразить \( x \) через \( y \) или наоборот. Перепишем уравнение так:
\[ x^2 y^2 - 2x + 6y = 0. \]
Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно \( x \):
\[ x^2 y^2 - 2x + 6y = 0. \]
Применим формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(y^2)(6y) = 4 - 24y^3. \]
Чтобы уравнение имело целые корни, дискриминант \( D \) должен быть неотрицательным:
\[ 4 - 24y^3 \geq 0 \] \[ 4 \geq 24y^3 \] \[ \frac{4}{24} \geq y^3 \] \[ \frac{1}{6} \geq y^3. \]
Так как \( y \) должно быть целым числом, возможные значения \( y \) могут быть только \( 0 \) или \( -1 \).
1. Если \( y = 0 \):
Подставляем в уравнение:
\[ x^2(0) - 2x + 6(0) = 0 \] \[ -2x = 0 \implies x = 0. \]
2. Если \( y = -1 \):
Подставляем \( y = -1 \) в уравнение:
\[ x^2(-1)^2 - 2x + 6(-1) = 0 \] \[ x^2 - 2x - 6 = 0. \]
Находим дискриминант:
\[ D = (-2)^2 - 4(1)(-6) = 4 + 24 = 28. \]
Корни:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}. \]
Так как \( \sqrt{7} \) не является целым числом, целых решений для \( y = -1 \) нет.
Теперь подведем итоги. Единственные целые решения, которые мы нашли для уравнения \( x^2 y^2 - 2x + 6y = 0 \):
- \( (x, y) = (0, 0) \).
Теперь вычислим значение выражения \( x - 3y \):
\[ 0 - 3 \cdot 0 = 0. \]
Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно 0.
