Пусть А — множество делителей числа 15, В - множество простых чисел, меньших 12, С - множество чётных чисел, меньших 10, причём, множества А, В, С состоят из натуральных чисел.…

Для начала найдем сами множества A, B и C.

1. Множество A — делители числа 15. \( 15 = 1 \times 15 = 3 \times 5 \) Делители числа 15: \( A = \{ 1, 3, 5, 15 \} \).

2. Множество B — простые числа, меньшие 12. Простые числа: \( 2, 3, 5, 7, 11 \) Таким образом, \( B = \{ 2, 3, 5, 7, 11 \} \).

3. Множество C — четные числа, меньшие 10. Четные числа: \( 2, 4, 6, 8 \) Следовательно, \( C = \{ 2, 4, 6, 8 \} \).

Теперь найдем объединение множеств A и C:

\[ A \cup C = \{ 1, 3, 5, 15 \} \cup \{ 2, 4, 6, 8 \} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 15 \} \]

Теперь мы можем найти произведение множеств \( (A \cup C)^B \). Это означает, что каждое число из множества \( B \) возводится в степень каждого элемента из \( (A \cup C) \).

Вспомним, что \( (A \cup C)^B \) — это множество всех чисел вида \( x^y \), где \( x \in (A \cup C) \) и \( y \in B \).

Теперь вычислим все возможные степени:

1. Для \( x = 1 \):

   • \( 1^2 = 1 \)
   • \( 1^3 = 1 \)
   • \( 1^5 = 1 \)
   • \( 1^7 = 1 \)
   • \( 1^{11} = 1 \)

2. Для \( x = 2 \):

   • \( 2^2 = 4 \)
   • \( 2^3 = 8 \)
   • \( 2^5 = 32 \)
   • \( 2^7 = 128 \)
   • \( 2^{11} = 2048 \)

3. Для \( x = 3 \):

   • \( 3^2 = 9 \)
   • \( 3^3 = 27 \)
   • \( 3^5 = 243 \)
   • \( 3^7 = 2187 \)
   • \( 3^{11} = 177147 \)

4. Для \( x = 4 \):

   • \( 4^2 = 16 \)
   • \( 4^3 = 64 \)
   • \( 4^5 = 1024 \)
   • \( 4^7 = 16384 \)
   • \( 4^{11} = 4194304 \)

5. Для \( x = 5 \):

   • \( 5^2 = 25 \)
   • \( 5^3 = 125 \)
   • \( 5^5 = 3125 \)
   • \( 5^7 = 78125 \)
   • \( 5^{11} = 48828125 \)

6. Для \( x = 6 \):

   • \( 6^2 = 36 \)
   • \( 6^3 = 216 \)
   • \( 6^5 = 7776 \)
   • \( 6^7 = 279936 \)
   • \( 6^{11} = 362797056 \)

7. Для \( x = 8 \):

   • \( 8^2 = 64 \)
   • \( 8^3 = 512 \)
   • \( 8^5 = 32768 \)
   • \( 8^7 = 2097152 \)
   • \( 8^{11} = 8589934592 \)

8. Для \( x = 15 \):

   • \( 15^2 = 225 \)
   • \( 15^3 = 3375 \)
   • \( 15^5 = 759375 \)
   • \( 15^7 = 170859375 \)
   • \( 15^{11} = 576650390625 \)

Теперь объединим все найденные значения и удалим дубликаты:

\[ (A \cup C)^B = \{ 1, 4, 8, 9, 16, 25, 36, 64, 128, 512, 225, 625, 7776, 2048, 32, 128, 256, 2048, 2187, 279936, 85243, 17683, 2097152, 32768, 362797056, 177147, 48828125, 4194304, 576650390625 \} \]

Таким образом, множество всех чисел, являющихся элементами \( (A \cup C)^B \), состоит из следующих уникальных чисел:

\[ (A \cup C)^B = \{ 1, 4, 8, 9, 16, 25, 36, 64, 128, 512, 225, 625, 7776, 2048, 32, 256, 2048, 2187, 279936, 32768, 362797056, 177147, 48828125, 4194304, 576650390625 \} \]